_Příští týden se cvičení nekoná, je děkanský sportovní den_
Catalanova čísla
================
_$n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů s $n$ vnitřními vrcholy.
a že tato
Na přednášce bylo ukázáno, že tato čísla splňují rekurenci $C_n = \sum_{0\leq i < n} C_i C_{n-1-i}$
a pomocí vytvořujících funkcí bylo ukázáno, že $C_n = {1\over n+1}{2n \choose n}$._
Catalanovské objekty
--------------------
Určete počet:
a) Zakořeněných stromů s $n$ hranami, kde každý vrchol může mít libovolný počet potomků, a potomci daného vrcholu mají
určené pořadí zleva doprava. (Příklad pro $n = 3$ je v levé části obrázku.)
b) Procházky v mřížce $\N\times \N$ z bodu $(0, 0)$ do bodu $(n, n)$ takové, že v každém kroku se posuneme buď o jednu jednotku
nahoru nebo o jednu jednotku doprava, a zároveň nesmíme nikdy sestoupit pod přímku danou rovnicí $x = y$. (Příklad
pro $n = 3$ je v pravé části obrázku.)
c) Korektní uzávorkování pomocí $n$ párů závorek. “Korektním uzávorkováním” zde rozumíme posloupnost obsahující $n$
levých a $n$ pravých závorek, jejíž každý prefix obsahuje aspoň tolik levých závorek jako pravých. Zde je všech pět
korektních uzávorkování pomocí tří párů závorek: `((()))`, `(()())`, `(())()`, `()(())`, `()()()`.
Každou z předešlých úloh můžete ukázat:
1) buď rekurzivního vzorečku,
2) nebo pomocí bijekce na jiné objekty, jejichž počet už znáte.
Alternativní odvození vzorečku pro Catalanova čísla
--------------------------------------
Vyřešme část b\) předchozího příkladu kombinatorickou úvahou.
V tomto příkladu slovem _procházka_ označme libovolnou
cestu v $\N × \N$ , která začíná v bodě $(0, 0)$ a v každém kroku se posune o jedna doprava nebo o jedna nahoru. Řekneme, že
procházka je dobrá, pokud nikdy nesestoupí pod přímku $x = y$, jinak je špatná.
a) Kolik existuje všech procházek (dobrých i špatných) končících v bodě $(m, n) \in \N\times \N$?
b) Dokažte pomocí vhodné bijekce, že počet všech procházek končících v bodě $(n + 1, n - 1)$ je stejný, jako počet špatných
procházek končících v bodě $(n, n)$.
c) Odvoďte z toho, že počet dobrých procházek končících v bodě $(n, n)$ je ${1\over n+1}{2n \choose n}$.
Projektivní roviny
==================
_Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf (X, P) splňující trojici axiomů:_
1) _Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in P$, která je oba obsahuje._
2) _Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in P$ platí $|p \cap q| = 1$._
3) _Existuje čtyřprvková množina vrcholů $Č$, jejíž žádné tři vrcholy neleží ve společné hyperhraně._
Alternativní axiomatizace
-------------------------
Konstrukce
----------
Nekonečné projektivní roviny
----------------------------
a) Nechť X je množina všech (euklidovských) přímek v $\R^3$ procházejících počátkem.
Pro takovou přímku $x \in X$ definujme
množinu přímek $P\perp x = {y \in X; y je kolmá na x}$ a označme $P = {P \perp x ; x \in X}$ systém všech takovýchto množin.
Dokažte, že $(X, P)$ je projektivní rovina.
b) Nahlédněte, že tato konstrukce je ekvivalentní s následují konstrukcí:
Vezmeme rovinu $\R^2$ s jejími body a přímkami.
K nim doplníme pro každou množinu rovnoběžných přímek **jeden** bod "v nekonečnu", kde se protínají. A pak všemi body v nekonečnu protáhneme ještě jednu přímku.
