KG1: Třetí cvičení

jk_web/teaching_24_kg1/3.md

+---
+title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 3 (Vytvoř. fce)"
+lang: "cs"
+---
+
+[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
+
+\def\sectioneject{}
+
+[]{c=head}
+
+Vytvořující funkce pro posloupnost $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ je mocninná řada $a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$.
+
+Postup výroby VF z rekurzivně zadané posloupnosti.
+
+- začneme s rovností $a_n x^n = (\hbox{rekurzivní výraz}) x^n$.
+- sečteme pro všechna přípustná $n$: $\sum_{n \ge n_0} a_n x^n = \sum_{n \ge n_0} (\hbox{rek. v.}) x^n$.
+- upravujeme a všechny nekonečné sumy nahradíme za $f(x)$.
+- vyřešíme rovnici, kde neznámá je $f(x)$.
+
+Zobecněné kombinační číslo ($r\in \R, k\in\N$): ${r \choose k} = {n(n-1)\cdots(n-k+1) \over k!}$
+Zobecněná binomická věta: $(1+x)^r = \sum_{k\ge 0} {r \choose k} x^k$.
+Důsledek: ${1\over (1-x)^m} = \sum_n {m+n-1 \choose m-1} x^n$.
+
+Vytvořujíci funkce posloupností
+==================
+
+Najděte vytvořující funkci následujících posloupností:
+
+a) $1, -1, 1, -1, \dots , (-1)^n , \dots$
+b) $1,2,3,4,\dots, n+1, \dots$
+c) ${p \choose p}, {p+1 \choose p}, \dots, {p+n \choose p} \dots$
+d) $1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, \dots$
+
+Kombinatoricky definované VF
+=========================
+
+Najděte vzorce v uzavřeném tvaru (tedy bez nekonečných sum) pro vytvořující funkce následujících posloupností.
+
+a) Posloupnost $(a_n)_{n=0}^\infty$, kde $a_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet tří lichých přirozených
+   čísel (na pořadí sčítanců záleží). Například $a_7 = 6$, neboť číslo 7 lze zapsat těmito součty: $1 + 1 + 5, 1 + 5 + 1,
+   5 + 1 + 1, 1 + 3 + 3, 3 + 1 + 3, 3 + 3 + 1$.
+b) Posloupnost $(b_n)_{n=0}^\infty$, kde $b_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet libovolného počtu
+   lichých přirozených čísel (na pořadí sčítanců opět záleží). Například $b_4 = 3$, nebot’ číslo 4 lze zapsat těmito
+   součty: $1 + 3, 3 + 1, 1 + 1 + 1 + 1$.
+c) Posloupnost $(c_n)_{n=0}^\infty$ , kde $c_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet jedniček a dvojek (na
+   pořadí sčítanců záleží). Například $c_4 = 5$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito součty: $1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2,
+   1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2$.
+
+Dokazování rovností
+===================
+
+Pro posloupnosti $b_n$ a $c_n$ z předchozího příkladu platí, že pro každé $n \ge 0$ je $c_n$ rovno $b_{n+1}$ .
+
+a) Dokažte to pomocí vytvořujících funkcí.
+b)  Dokažte to kombinatorickou úvahou.
+
+Rekurence
+=========
+Najděte vzorce v uzavřeném tvaru (tedy bez nekonečných sum) pro vytvořující funkce následujících posloupností.
+
+$$a_n = \left\{ \matrix{1& \hbox{pro $n=0$}\cr 3a_{n-1}-1 & \hbox{pro $n\ge 1$}} \right.$$
+
+$$b_n = \left\{ \matrix{1/2& \hbox{pro $n=0$} \cr 1-\sum_{0\le k \le n-1} b_k & \hbox{pro $n\ge 1$}} \right.$$

jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py

@@ -61,7 +61,8 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module:
                         b.line.th("Příklady")
                 with b.tbody:
                     b(lesson(1, "1. 10.", "Kombinatorické počítání."))
-                    b(lesson(2, "8. 10.", b._bucket("Odhady faktoriálů a kombinačních čísel, vytvořující funkce poprvé.", b._br(), "Předvedeny příklady 1abc a 2abefgh.")))
+                    b(lesson(2, "8. 10.", b._bucket("Odhady faktoriálů a kombinačních čísel, vytvořující funkce ponulté.", b._br(), "Předvedeny příklady 1abc a 2abefgh.")))
+                    b(lesson(3, "15. 10.", b._bucket("Vytvořující funkce poprvé.")))
 
 
         return base_page(b.root)