From cdcf675b04d7ecb8c8bab1a3c19c321400fdb7eb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jiri Kalvoda <jirikalvoda@kam.mff.cuni.cz> Date: Sun, 27 Oct 2024 09:42:03 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?KG1:=20P=C5=99=C3=ADprava=205.=20cvi=C4=8Den?= =?UTF-8?q?=C3=AD?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- jk_web/teaching_24_kg1/5.md | 80 ++++++++++++++++++++++++++++++ jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py | 1 + 2 files changed, 81 insertions(+) create mode 100644 jk_web/teaching_24_kg1/5.md diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/5.md b/jk_web/teaching_24_kg1/5.md new file mode 100644 index 0000000..bdb09cb --- /dev/null +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/5.md @@ -0,0 +1,80 @@ +--- +title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 5" +lang: "cs" +--- + +[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module} + +\def\sectioneject{\vfil\eject} + +[]{c=head} + +_Příští týden se cvičení nekoná, je děkanský sportovní den_ + +Catalanova čísla +================ + +_$n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů s $n$ vnitřními vrcholy. +a že tato +Na přednášce bylo ukázáno, že tato čísla splňují rekurenci $C_n = \sum_{0\leq i < n} C_i C_{n-1-i}$ +a pomocí vytvořujících funkcí bylo ukázáno, že $C_n = {1\over n+1}{2n \choose n}$._ + +Catalanovské objekty +-------------------- + +Určete počet: + +a) Zakořeněných stromů s $n$ hranami, kde každý vrchol může mít libovolný počet potomků, a potomci daného vrcholu mají + určené pořadí zleva doprava. (Příklad pro $n = 3$ je v levé části obrázku.) +b) Procházky v mřížce $\N \times \N$ z bodu $(0, 0)$ do bodu $(n, n)$ takové, že v každém kroku se posuneme buď o jednu jednotku + nahoru nebo o jednu jednotku doprava, a zároveň nesmíme nikdy sestoupit pod přímku danou rovnicí $x = y$. (Příklad + pro $n = 3$ je v pravé části obrázku.) +c) Korektní uzávorkování pomocí $n$ párů závorek. “Korektním uzávorkováním” zde rozumíme posloupnost obsahující $n$ + levých a $n$ pravých závorek, jejíž každý prefix obsahuje aspoň tolik levých závorek jako pravých. Zde je všech pět + korektních uzávorkování pomocí tří párů závorek: `((()))`, `(()())`, `(())()`, `()(())`, `()()()`. + +Každou z předešlých úloh můžete ukázat: +1) buď rekurzivního vzorečku, +2) nebo pomocí bijekce na jiné objekty, jejichž počet už znáte. + + +Alternativní odvození vzorečku pro Catalanova čísla +-------------------------------------- + +Vyřešme část b\) předchozího příkladu kombinatorickou úvahou. +V tomto příkladu slovem _procházka_ označme libovolnou +cestu v $\N × \N$ , která začíná v bodě $(0, 0)$ a v každém kroku se posune o jedna doprava nebo o jedna nahoru. Řekneme, že +procházka je dobrá, pokud nikdy nesestoupí pod přímku $x = y$, jinak je špatná. +a) Kolik existuje všech procházek (dobrých i špatných) končících v bodě $(m, n) \in \N \times \N$? +b) Dokažte pomocí vhodné bijekce, že počet všech procházek končících v bodě $(n + 1, n - 1)$ je stejný, jako počet špatných + procházek končících v bodě $(n, n)$. +c) Odvoďte z toho, že počet dobrých procházek končících v bodě $(n, n)$ je ${1\over n+1}{2n \choose n}$. + + + +Projektivní roviny +================== + + +_Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf (X, P) splňující trojici axiomů:_ +1) _Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in P$, která je oba obsahuje._ +2) _Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in P$ platí $|p \cap q| = 1$._ +3) _Existuje čtyřprvková množina vrcholů $Č$, jejíž žádné tři vrcholy neleží ve společné hyperhraně._ + +Alternativní axiomatizace +------------------------- + +Konstrukce +---------- + +Nekonečné projektivní roviny +---------------------------- + +a) Nechť X je množina všech (euklidovských) přímek v $\R^3$ procházejících počátkem. + Pro takovou přímku $x \in X$ definujme + množinu přímek $P\perp x = {y \in X; y je kolmá na x}$ a označme $P = {P \perp x ; x \in X}$ systém všech takovýchto množin. + Dokažte, že $(X, P)$ je projektivní rovina. +b) Nahlédněte, že tato konstrukce je ekvivalentní s následují konstrukcí: + Vezmeme rovinu $\R^2$ s jejími body a přímkami. + K nim doplníme pro každou množinu rovnoběžných přímek **jeden** bod "v nekonečnu", kde se protínají. A pak všemi body v nekonečnu protáhneme ještě jednu přímku. + diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py index 348035c..20e10af 100644 --- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py @@ -63,6 +63,7 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module: b(lesson(1, "1. 10.", "Kombinatorické počítání.")) b(lesson(2, "8. 10.", b._bucket("Odhady faktoriálů a kombinačních čísel, vytvořující funkce ponulté.", b._br(), "Předvedeny příklady 1abc a 2abefgh."))) b(lesson(3, "15. 10.", b._bucket("Vytvořující funkce poprvé."))) + b(lesson(4, "22. 10.", b._bucket("Vytvořující funkce podruhé."))) return base_page(b.root) -- GitLab