From cdcf675b04d7ecb8c8bab1a3c19c321400fdb7eb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jiri Kalvoda <jirikalvoda@kam.mff.cuni.cz>
Date: Sun, 27 Oct 2024 09:42:03 +0100
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?KG1:=20P=C5=99=C3=ADprava=205.=20cvi=C4=8Den?=
 =?UTF-8?q?=C3=AD?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 jk_web/teaching_24_kg1/5.md        | 80 ++++++++++++++++++++++++++++++
 jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py |  1 +
 2 files changed, 81 insertions(+)
 create mode 100644 jk_web/teaching_24_kg1/5.md

diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/5.md b/jk_web/teaching_24_kg1/5.md
new file mode 100644
index 0000000..bdb09cb
--- /dev/null
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/5.md
@@ -0,0 +1,80 @@
+---
+title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 5"
+lang: "cs"
+---
+
+[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
+
+\def\sectioneject{\vfil\eject}
+
+[]{c=head}
+
+_Příští týden se cvičení nekoná, je děkanský sportovní den_
+
+Catalanova čísla
+================
+
+_$n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů s $n$ vnitřními vrcholy.
+a že tato
+Na přednášce bylo ukázáno, že tato čísla splňují rekurenci $C_n = \sum_{0\leq i < n} C_i C_{n-1-i}$
+a pomocí vytvořujících funkcí bylo ukázáno, že $C_n = {1\over n+1}{2n \choose n}$._
+
+Catalanovské objekty
+--------------------
+
+Určete počet:
+
+a) Zakořeněných stromů s $n$ hranami, kde každý vrchol může mít libovolný počet potomků, a potomci daného vrcholu mají
+   určené pořadí zleva doprava. (Příklad pro $n = 3$ je v levé části obrázku.)
+b) Procházky v mřížce $\N \times \N$ z bodu $(0, 0)$ do bodu $(n, n)$ takové, že v každém kroku se posuneme buď o jednu jednotku
+   nahoru nebo o jednu jednotku doprava, a zároveň nesmíme nikdy sestoupit pod přímku danou rovnicí $x = y$. (Příklad
+   pro $n = 3$ je v pravé části obrázku.)
+c) Korektní uzávorkování pomocí $n$ párů závorek. “Korektním uzávorkováním” zde rozumíme posloupnost obsahující $n$
+   levých a $n$ pravých závorek, jejíž každý prefix obsahuje aspoň tolik levých závorek jako pravých. Zde je všech pět
+   korektních uzávorkování pomocí tří párů závorek: `((()))`, `(()())`, `(())()`, `()(())`, `()()()`.
+
+Každou z předešlých úloh můžete ukázat:
+1) buď rekurzivního vzorečku,
+2) nebo pomocí bijekce na jiné objekty, jejichž počet už znáte.
+
+
+Alternativní odvození vzorečku pro Catalanova čísla
+--------------------------------------
+
+Vyřešme část b\) předchozího příkladu kombinatorickou úvahou.
+V tomto příkladu slovem _procházka_ označme libovolnou
+cestu v $\N × \N$ , která začíná v bodě $(0, 0)$ a v každém kroku se posune o jedna doprava nebo o jedna nahoru. Řekneme, že
+procházka je dobrá, pokud nikdy nesestoupí pod přímku $x = y$, jinak je špatná.
+a) Kolik existuje všech procházek (dobrých i špatných) končících v bodě $(m, n) \in \N \times \N$?
+b) Dokažte pomocí vhodné bijekce, že počet všech procházek končících v bodě $(n + 1, n - 1)$ je stejný, jako počet špatných
+   procházek končících v bodě $(n, n)$.
+c) Odvoďte z toho, že počet dobrých procházek končících v bodě $(n, n)$ je ${1\over n+1}{2n \choose n}$.
+
+
+
+Projektivní roviny
+==================
+
+
+_Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf (X, P) splňující trojici axiomů:_
+1) _Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in P$, která je oba obsahuje._
+2) _Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in P$ platí $|p \cap q| = 1$._
+3) _Existuje čtyřprvková množina vrcholů $Č$, jejíž žádné tři vrcholy neleží ve společné hyperhraně._
+
+Alternativní axiomatizace
+-------------------------
+
+Konstrukce
+----------
+
+Nekonečné projektivní roviny
+----------------------------
+
+a) Nechť X je množina všech (euklidovských) přímek v $\R^3$ procházejících počátkem.
+   Pro takovou přímku $x \in X$ definujme
+   množinu přímek $P\perp x = {y \in X; y je kolmá na x}$ a označme $P = {P \perp x ; x \in X}$ systém všech takovýchto množin.
+   Dokažte, že $(X, P)$ je projektivní rovina.
+b) Nahlédněte, že tato konstrukce je ekvivalentní s následují konstrukcí:
+   Vezmeme rovinu $\R^2$ s jejími body a přímkami.
+   K nim doplníme pro každou množinu rovnoběžných přímek **jeden** bod "v nekonečnu", kde se protínají. A pak všemi body v nekonečnu protáhneme ještě jednu přímku.
+
diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
index 348035c..20e10af 100644
--- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
@@ -63,6 +63,7 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module:
                     b(lesson(1, "1. 10.", "Kombinatorické počítání."))
                     b(lesson(2, "8. 10.", b._bucket("Odhady faktoriálů a kombinačních čísel, vytvořující funkce ponulté.", b._br(), "Předvedeny příklady 1abc a 2abefgh.")))
                     b(lesson(3, "15. 10.", b._bucket("Vytvořující funkce poprvé.")))
+                    b(lesson(4, "22. 10.", b._bucket("Vytvořující funkce podruhé.")))
 
 
         return base_page(b.root)
-- 
GitLab