KG1: Čtvrté cvičení

jk_web/teaching_24_kg1/4.md

+---
+title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 4 (Vytvoř. fce)"
+lang: "cs"
+---
+
+[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
+
+\def\sectioneject{}
+
+[]{c=head}
+
+Vytvořující funkce pro posloupnost $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ je mocninná řada $a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$.
+
+Zobecněné kombinační číslo ($r\in \R, k\in\N$): ${r \choose k} = {n(n-1)\cdots(n-k+1) \over k!}$
+Zobecněná binomická věta: $(1+x)^r = \sum_{k\ge 0} {r \choose k} x^k$.
+Důsledek: ${1\over (1-x)^m} = \sum_n {m+n-1 \choose m-1} x^n$.
+
+Vytvořující funkce posloupnosti samých jedniček je $1 \over 1-x$.
+
+Základní úpravy:
+`\vskip -20pt`{=tex}
+
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+|$f(x)+g(x)$         | $a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_n + b_n, \dots$                                       |
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+|$cf(x)$             | $ca_0 , ca_1 , ca_2 , \dots , ca_n , \dots$                                                       |
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+|$xf(x)$             | $0, a_0 , a_1 , a_2 , \dots , a_{n-1} , \dots$                                                    |
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+|$f(x)-a_0 \over x$  | $a_1 , a_2 , \dots , a_{n+1} , \dots$                                                             |
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+|$f(x^2)$            | $a_0, 0, a_1 ,0, a_2 ,0, a_3, 0, \dots$                                                           |
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+|$f(cx)$             | $a_0, ca_1, c^2a_2, c^3 a_3, \dots , c^na_{n} , \dots$                                            |
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+|$f(x)g(x)$          |$a_0b_0 , a_0b_1 + a_1b_0 , a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0, \dots, \sum_{0\le i \le n} a_ib_{n-i}, \dots$|
++--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
+
+
+
+Vytvořujíci funkce posloupností
+=================
+
+Najděte vytvořující funkci následujících posloupností:
+
+a) $1,2,3,4,\dots, n+1, \dots$
+    1) pomocí konvoluce
+    2) pomocí derivace
+    3) pomocí zobecněné binomické věty
+b) ${p \choose p}, {p+1 \choose p}, \dots, {p+n \choose p} \dots$
+
+Explicitní vzorec
+=================
+
+Najděte explicitní vzorec pro $n$-tý člen posloupností určených následujícími vytvořujícími funkcemi:
+
+a) $a \over b-cx$ pro $a,b,c \in \R-\{0\}$
+b) $3x+7 \over (x+2)(x+3)$
+c) $20x + 16 \over  2x^2 - x -6$
+d) $2x^2 + 7x - 4 \over x^2 - 1$
+e) $1+2x \over x^2 + 6x + 9$
+```{c=cmt}
+b) (1/(x+2) + 2/(x+3))
+c) 4/(2x+3) + 8/(x-2)
+```
+
+Pro matematické úpravy a jiné podúlohy klidně použijte vhodné nástroje.
+
+Obecný postup:
+jmenovatele rozdělíme na dvojčleny, rozložíme na parciální zlomky a pro každý z nich najdeme vytvořující funkci.
+
+\vfil\eject
+
+Kombinatoricky definované VF
+=========================
+
+Najděte vzorce v uzavřeném tvaru (tedy bez nekonečných sum) pro vytvořující funkce následujících posloupností.
+
+a) Posloupnost $(b_n)_{n=0}^\infty$, kde $b_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet libovolného počtu
+   lichých přirozených čísel (na pořadí sčítanců opět záleží). Například $b_4 = 3$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito
+   součty: $1 + 3, 3 + 1, 1 + 1 + 1 + 1$.
+b) Posloupnost $(c_n)_{n=0}^\infty$ , kde $c_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet jedniček a dvojek (na
+   pořadí sčítanců záleží). Například $c_4 = 5$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito součty: $1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2,
+   1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2$.
+
+Dokazování rovností
+===================
+
+Pro posloupnosti $b_n$ a $c_n$ z předchozího příkladu platí, že pro každé $n \ge 0$ je $c_n$ rovno $b_{n+1}$ .
+
+a) Dokažte to pomocí vytvořujících funkcí.
+b)  Dokažte to kombinatorickou úvahou.
+
+
+Vytvořující funkce polynomů
+============================
+
+a) Nechť $d$ je přirozené číslo a nechť $P(x)$ je polynom stupně menšího než $d$. Uvažme funkci $f(x) = {P(x) \over (1-x)^d}$.
+   Ukažte, že $f(x)$ je vytvořující funkce pro posloupnost $q(0), q(1), q(2), q(3), \dots$, kde $q(n)$ je nějaký polynom
+   v proměnné $n$ stupně menšího než $d$. (Zdá-li se vám to těžké, rozmyslete nejdřív případy $d = 1$ a $d = 2$.)
+b) Rozmyslete, zda platí i opačné tvrzení, tedy že když $q(n)$ je polynom stupně menšího než $d$, tak posloupnost
+   $q(0), q(1), q(2), \dots$ má nutně vytvořující funkci tvaru $P(x) \over (1-x)^d$, kde $P (x)$ je nějaký polynom stupně menšího
+   než $d$.
+c) Předpokládejme, že $q(n)$ je polynom stupně $s \in N_0$ . Ukažte, že existuje polynom $r(n)$ stupně $s + 1$ takový,
+   že pro každé $n \in N_0$ platí $r(n) = q(0) + q(1) + q(2) + \cdots + q(n)$. (I zde můžete začít s případy, kdy $s$ je
+   nějaké malé číslo)