Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit 87ce8961 authored by Jiří Kalvoda's avatar Jiří Kalvoda
Browse files

KG1: Čtvrté cvičení

parent cdcf675b
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
---
title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 4 (Vytvoř. fce)"
lang: "cs"
---
[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
\def\sectioneject{}
[]{c=head}
Vytvořující funkce pro posloupnost $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ je mocninná řada $a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$.
Zobecněné kombinační číslo ($r\in \R, k\in\N$): ${r \choose k} = {n(n-1)\cdots(n-k+1) \over k!}$
Zobecněná binomická věta: $(1+x)^r = \sum_{k\ge 0} {r \choose k} x^k$.
Důsledek: ${1\over (1-x)^m} = \sum_n {m+n-1 \choose m-1} x^n$.
Vytvořující funkce posloupnosti samých jedniček je $1 \over 1-x$.
Základní úpravy:
`\vskip -20pt`{=tex}
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)+g(x)$ | $a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_n + b_n, \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$cf(x)$ | $ca_0 , ca_1 , ca_2 , \dots , ca_n , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$xf(x)$ | $0, a_0 , a_1 , a_2 , \dots , a_{n-1} , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)-a_0 \over x$ | $a_1 , a_2 , \dots , a_{n+1} , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x^2)$ | $a_0, 0, a_1 ,0, a_2 ,0, a_3, 0, \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(cx)$ | $a_0, ca_1, c^2a_2, c^3 a_3, \dots , c^na_{n} , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)g(x)$ |$a_0b_0 , a_0b_1 + a_1b_0 , a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0, \dots, \sum_{0\le i \le n} a_ib_{n-i}, \dots$|
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
Vytvořujíci funkce posloupností
=================
Najděte vytvořující funkci následujících posloupností:
a) $1,2,3,4,\dots, n+1, \dots$
1) pomocí konvoluce
2) pomocí derivace
3) pomocí zobecněné binomické věty
b) ${p \choose p}, {p+1 \choose p}, \dots, {p+n \choose p} \dots$
Explicitní vzorec
=================
Najděte explicitní vzorec pro $n$-tý člen posloupností určených následujícími vytvořujícími funkcemi:
a) $a \over b-cx$ pro $a,b,c \in \R-\{0\}$
b) $3x+7 \over (x+2)(x+3)$
c) $20x + 16 \over 2x^2 - x -6$
d) $2x^2 + 7x - 4 \over x^2 - 1$
e) $1+2x \over x^2 + 6x + 9$
```{c=cmt}
b) (1/(x+2) + 2/(x+3))
c) 4/(2x+3) + 8/(x-2)
```
Pro matematické úpravy a jiné podúlohy klidně použijte vhodné nástroje.
Obecný postup:
jmenovatele rozdělíme na dvojčleny, rozložíme na parciální zlomky a pro každý z nich najdeme vytvořující funkci.
\vfil\eject
Kombinatoricky definované VF
=========================
Najděte vzorce v uzavřeném tvaru (tedy bez nekonečných sum) pro vytvořující funkce následujících posloupností.
a) Posloupnost $(b_n)_{n=0}^\infty$, kde $b_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet libovolného počtu
lichých přirozených čísel (na pořadí sčítanců opět záleží). Například $b_4 = 3$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito
součty: $1 + 3, 3 + 1, 1 + 1 + 1 + 1$.
b) Posloupnost $(c_n)_{n=0}^\infty$ , kde $c_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet jedniček a dvojek (na
pořadí sčítanců záleží). Například $c_4 = 5$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito součty: $1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2,
1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2$.
Dokazování rovností
===================
Pro posloupnosti $b_n$ a $c_n$ z předchozího příkladu platí, že pro každé $n \ge 0$ je $c_n$ rovno $b_{n+1}$ .
a) Dokažte to pomocí vytvořujících funkcí.
b) Dokažte to kombinatorickou úvahou.
Vytvořující funkce polynomů
============================
a) Nechť $d$ je přirozené číslo a nechť $P(x)$ je polynom stupně menšího než $d$. Uvažme funkci $f(x) = {P(x) \over (1-x)^d}$.
Ukažte, že $f(x)$ je vytvořující funkce pro posloupnost $q(0), q(1), q(2), q(3), \dots$, kde $q(n)$ je nějaký polynom
v proměnné $n$ stupně menšího než $d$. (Zdá-li se vám to těžké, rozmyslete nejdřív případy $d = 1$ a $d = 2$.)
b) Rozmyslete, zda platí i opačné tvrzení, tedy že když $q(n)$ je polynom stupně menšího než $d$, tak posloupnost
$q(0), q(1), q(2), \dots$ má nutně vytvořující funkci tvaru $P(x) \over (1-x)^d$, kde $P (x)$ je nějaký polynom stupně menšího
než $d$.
c) Předpokládejme, že $q(n)$ je polynom stupně $s \in N_0$ . Ukažte, že existuje polynom $r(n)$ stupně $s + 1$ takový,
že pro každé $n \in N_0$ platí $r(n) = q(0) + q(1) + q(2) + \cdots + q(n)$. (I zde můžete začít s případy, kdy $s$ je
nějaké malé číslo)
0% Loading or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment