Skip to content
GitLab
Explore
Sign in
Primary navigation
Search or go to…
Project
J
jk-web
Manage
Activity
Members
Labels
Plan
Issues
Issue boards
Milestones
Wiki
Code
Merge requests
Repository
Branches
Commits
Tags
Repository graph
Compare revisions
Snippets
Deploy
Releases
Package registry
Model registry
Operate
Terraform modules
Monitor
Incidents
Analyze
Value stream analytics
Contributor analytics
Repository analytics
Model experiments
Help
Help
Support
GitLab documentation
Compare GitLab plans
GitLab community forum
Contribute to GitLab
Provide feedback
Keyboard shortcuts
?
Snippets
Groups
Projects
Show more breadcrumbs
Jiří Kalvoda
jk-web
Commits
87ce8961
Commit
87ce8961
authored
8 months ago
by
Jiří Kalvoda
Browse files
Options
Downloads
Patches
Plain Diff
KG1: Čtvrté cvičení
parent
cdcf675b
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Changes
1
Show whitespace changes
Inline
Side-by-side
Showing
1 changed file
jk_web/teaching_24_kg1/4.md
+106
-0
106 additions, 0 deletions
jk_web/teaching_24_kg1/4.md
with
106 additions
and
0 deletions
jk_web/teaching_24_kg1/4.md
0 → 100644
+
106
−
0
View file @
87ce8961
---
title
:
"
KG1
Jiří
Kalvoda:
Cvičení
4
(Vytvoř.
fce)"
lang
:
"
cs"
---
[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
\d
ef
\s
ectioneject{}
[]{c=head}
Vytvořující funkce pro posloupnost $(a_0, a_1, a_2,
\d
ots)$ je mocninná řada $a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 +
\c
dots$.
Zobecněné kombinační číslo ($r
\i
n
\R
, k
\i
n
\N
$): ${r
\c
hoose k} = {n(n-1)
\c
dots(n-k+1)
\o
ver k!}$
Zobecněná binomická věta: $(1+x)^r =
\s
um_{k
\g
e 0} {r
\c
hoose k} x^k$.
Důsledek: ${1
\o
ver (1-x)^m} =
\s
um_n {m+n-1
\c
hoose m-1} x^n$.
Vytvořující funkce posloupnosti samých jedniček je $1
\o
ver 1-x$.
Základní úpravy:
`\vskip -20pt`
{=tex}
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)+g(x)$ | $a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2,
\d
ots , a_n + b_n,
\d
ots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$cf(x)$ | $ca_0 , ca_1 , ca_2 ,
\d
ots , ca_n ,
\d
ots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$xf(x)$ | $0, a_0 , a_1 , a_2 ,
\d
ots , a_{n-1} ,
\d
ots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)-a_0
\o
ver x$ | $a_1 , a_2 ,
\d
ots , a_{n+1} ,
\d
ots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x^2)$ | $a_0, 0, a_1 ,0, a_2 ,0, a_3, 0,
\d
ots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(cx)$ | $a_0, ca_1, c^2a_2, c^3 a_3,
\d
ots , c^na_{n} ,
\d
ots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)g(x)$ |$a_0b_0 , a_0b_1 + a_1b_0 , a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0,
\d
ots,
\s
um_{0
\l
e i
\l
e n} a_ib_{n-i},
\d
ots$|
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
Vytvořujíci funkce posloupností
=================
Najděte vytvořující funkci následujících posloupností:
a) $1,2,3,4,
\d
ots, n+1,
\d
ots$
1) pomocí konvoluce
2) pomocí derivace
3) pomocí zobecněné binomické věty
b) ${p
\c
hoose p}, {p+1
\c
hoose p},
\d
ots, {p+n
\c
hoose p}
\d
ots$
Explicitní vzorec
=================
Najděte explicitní vzorec pro $n$-tý člen posloupností určených následujícími vytvořujícími funkcemi:
a) $a
\o
ver b-cx$ pro $a,b,c
\i
n
\R
-
\{
0
\}
$
b) $3x+7
\o
ver (x+2)(x+3)$
c) $20x + 16
\o
ver 2x^2 - x -6$
d) $2x^2 + 7x - 4
\o
ver x^2 - 1$
e) $1+2x
\o
ver x^2 + 6x + 9$
```
{c=cmt}
b) (1/(x+2) + 2/(x+3))
c) 4/(2x+3) + 8/(x-2)
```
Pro matematické úpravy a jiné podúlohy klidně použijte vhodné nástroje.
Obecný postup:
jmenovatele rozdělíme na dvojčleny, rozložíme na parciální zlomky a pro každý z nich najdeme vytvořující funkci.
\v
fil
\e
ject
Kombinatoricky definované VF
=========================
Najděte vzorce v uzavřeném tvaru (tedy bez nekonečných sum) pro vytvořující funkce následujících posloupností.
a) Posloupnost $(b_n)_{n=0}^
\i
nfty$, kde $b_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet libovolného počtu
lichých přirozených čísel (na pořadí sčítanců opět záleží). Například $b_4 = 3$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito
součty: $1 + 3, 3 + 1, 1 + 1 + 1 + 1$.
b) Posloupnost $(c_n)_{n=0}^
\i
nfty$ , kde $c_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet jedniček a dvojek (na
pořadí sčítanců záleží). Například $c_4 = 5$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito součty: $1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2,
1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2$.
Dokazování rovností
===================
Pro posloupnosti $b_n$ a $c_n$ z předchozího příkladu platí, že pro každé $n
\g
e 0$ je $c_n$ rovno $b_{n+1}$ .
a) Dokažte to pomocí vytvořujících funkcí.
b) Dokažte to kombinatorickou úvahou.
Vytvořující funkce polynomů
============================
a) Nechť $d$ je přirozené číslo a nechť $P(x)$ je polynom stupně menšího než $d$. Uvažme funkci $f(x) = {P(x)
\o
ver (1-x)^d}$.
Ukažte, že $f(x)$ je vytvořující funkce pro posloupnost $q(0), q(1), q(2), q(3),
\d
ots$, kde $q(n)$ je nějaký polynom
v proměnné $n$ stupně menšího než $d$. (Zdá-li se vám to těžké, rozmyslete nejdřív případy $d = 1$ a $d = 2$.)
b) Rozmyslete, zda platí i opačné tvrzení, tedy že když $q(n)$ je polynom stupně menšího než $d$, tak posloupnost
$q(0), q(1), q(2),
\d
ots$ má nutně vytvořující funkci tvaru $P(x)
\o
ver (1-x)^d$, kde $P (x)$ je nějaký polynom stupně menšího
než $d$.
c) Předpokládejme, že $q(n)$ je polynom stupně $s
\i
n N_0$ . Ukažte, že existuje polynom $r(n)$ stupně $s + 1$ takový,
že pro každé $n
\i
n N_0$ platí $r(n) = q(0) + q(1) + q(2) +
\c
dots + q(n)$. (I zde můžete začít s případy, kdy $s$ je
nějaké malé číslo)
This diff is collapsed.
Click to expand it.
Preview
0%
Loading
Try again
or
attach a new file
.
Cancel
You are about to add
0
people
to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Save comment
Cancel
Please
register
or
sign in
to comment