$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall G$ -- graf na $N$ vrcholech: $G$ obsahuje kliku na $k$ nebo nezávislou množinu na $l$ vrcholech.
Ramseyova věta (dvojbarevná):
$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ vrcholech.
:::
Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá ($K_N$ značí úplný graf na množině vrcholů $\{0,1,\dots, N-1\}$):
a) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, který obsahuje vrchol číslo 0.
b) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, jehož každý vrchol je mocnina dvojky.
c) Trojbarevná verze: $\forall k,l,m \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře/zeleně: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ nebo zelený na $m$ vrcholech.
d) Vícebarevná: $\forall c, k \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení $c$ barvami hran grafu $K_N$: $G$ obsahuje jednobarevný indukovaný podgraf na $k$ vrcholech.
Nekonečná Ramseyova věta
========================
::: {c=from_lesson}
Ramseyovy věta (vícebarevná, hypergrafová, nekonečná): $\forall b \in \N, p \in \N$, pokud libovolně
obarvíme všechny $p$-prvkové podmnožiny $\N$ pomocí $b$ barev, tak bude existovat nekonečná množina $X \subseteq \N$, jejíž
všechny $p$-prvkové podmnožiny mají stejnou barvu.
:::
a) Dokažte, že v každé nekonečné posloupnost reálných čísel lze najít nekonečnou rostoucí podposloupnost,
nekonečnou klesající podposloupnost, nebo nekonečnou konstantní podposloupnost.
b) Dokažte, že v každé spočetné nekonečné množině bodů v rovině lze najít nekonečně mnoho bodů, které
všechny leží na společné přímce, nebo nekonečně mnoho bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce.
\vfill\eject
Konečná šachovnice
==================
Mějme “šachovnici” tvaru $N\times N$ , pro nějaké $N \in \N$. Máme k dispozici $b$ barev a každé políčko šachovnice
obarvíme některou z těchto barev. Dokažte, že pokud je $N$ dost velké v závislosti na $b$, tak platí následující:
a) Existuje deset políček ve stejném řádku, která mají všechna stejnou barvu.
b) Existují dva řádky a dva sloupce takové, že všechna čtyři políčka na jejich průsečících mají stejnou barvu.
c) Existuje deset řádků a deset sloupců takových, že všech 100 políček na jejich průsečících má stejnou barvu.
Jak velké N stačí k tomu, aby byla tvrzení splněná?
Nekonečná šachovnice
====================
Mějme nyní nekonečnou “šachovnici”, jejíž řádky i sloupce jsou očíslované přirozenými čísly.
a) Ukažte, pro libovolné $m \in N$, že pokud libovolně obarvíme políčka této šachovnice dvěma barvami, tak bude
existovat “jednobarevná podšachovnice tvaru $m \times \infty$”, tj. vždy půjde vybrat $m$ řádků a nekonečně mnoho
sloupců tak, že jejich průsečíky budou mít všechny stejnou barvu.
b) Ukažte, že existuje obarvení políček nekonečné šachovnice dvěma barvami, ve kterém neexistuje “jednobarevná podšachovnice tvaru $\infty\times\infty$”,
tj. nelze vybrat nekonečně mnoho řádků a nekonečně mnoho sloupců
tak, aby všechna políčka na jejich průsečících měla stejnou barvu.
