Připomeňme, že graf G je (vrcholově) 2-souvislý, právě když ho lze vyrobit z kružnice pomocí operací přidávání
ucha.
:::
a) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy
$x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ obsahující $z$.
b) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy
$x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ neobsahující $z$.
Počítání dvěma způsoby
======================
a) Na vysoké škole si každý student zapsal aspoň $10\%$ ze všech nabízených předmětů. Dokažte, že existuje
předmět, na němž je zapsáno aspoň $10\%$ všech studentů.
b) Z přednášky víme, že na vrcholech $\{1, 2, \dots , n\}$ existuje $n^{n-2}$ stromů. Kolik z nich obsahuje hranu $\{1, 2\}$?
c) Na turnaji v trojkovém mariáši (což je hra pro tři hráče) bylo $32$ účastníků, $12$ z nich sehrálo pět partií, $20$
z nich sehrálo šest partií. Kolik tam bylo sehráno partií?
d) Na jiném turnaji v trojkovém mariáši bylo $15$ účastníků a každá dvojice účastníků se tam právě dvakrát
sešla u společné partie. Kolik tam bylo sehráno partií? Plyne ze zadání, že každý hráč sehrál stejný počet
partií? Pokud ano, kolik partií sehrál každý hráč?
e) Turistický oddíl má $100$ členů. Pro své členy oddíl zorganizoval celkem $10$ výletů. Na každém výletě bylo
nejvýše $30$ členů oddílu. Dokažte, že existují dva členové oddílu, kteří spolu nikdy nebyli na společném
výletě.
f) Nechť $M$ je matice tvaru $10\times 10$ obsahující čísla $1, 2, \dots , 10$, přičemž každé číslo se v ní vyskytuje $10$-krát.
Dokažte, že $M$ má řádek nebo sloupec obsahující aspoň 4 různá čísla. Jak zobecnit tento závěr na matice
tvaru $n\times n$, v nichž se každé z čísel $1, 2, \dots , n$ vyskytuje právě $n$-krát?
\vfill\eject
Nekonečné vs. libovolně velké
=============================
a) Ukažte, že existuje **nekonečný** graf $G$, který pro každé $k\in \N$ obsahuje cestu délky $k$, ale neobsahuje nekonečně dlouhou cestu.
b) Ukažte, že existuje posloupnost $a$ reálných čísel taková, že pro každé $k\in\N$ v ní existuje rostoucí podposloupnost (ne nutně souvislá) délky $k$, ale neexistuje v ní nekonečná rostoucí podposloupnost.
Ramseyovské problémy
====================
::: {c=from_lesson}
Ramseyova věta (grafová):
$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall G$ -- graf na $N$ vrcholech: $G$ obsahuje kliku na $k$ nebo nezávislou množinu na $l$ vrcholech.
Ramseyova věta (dvojbarevná):
$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ vrcholech.
:::
Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá ($K_N$ značí úplný graf na množině vrcholů $\{0,1,\dots, N-1\}$):
a) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, který obsahuje vrchol číslo 0.
b) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, jehož každý vrchol je mocnina dvojky.
c) Trojbarevná verze: $\forall k,l,m \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře/zeleně: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ nebo zelený na $m$ vrcholech.
d) Vícebarevná: $\forall c, k \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení $c$ barvami hran grafu $K_N$: $G$ obsahuje jednobarevný indukovaný podgraf na $k$ vrcholech.
