From 54e289e1278507271109a8333de7bde9400c3323 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jiri Kalvoda <jirikalvoda@kam.mff.cuni.cz> Date: Tue, 7 Jan 2025 21:29:11 +0100 Subject: [PATCH] KG1: 13. cv --- jk_web/teaching_24_kg1/13.md | 73 ++++++++++++++++++++++++++++++ jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py | 2 +- 2 files changed, 74 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 jk_web/teaching_24_kg1/13.md diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/13.md b/jk_web/teaching_24_kg1/13.md new file mode 100644 index 0000000..6a757d4 --- /dev/null +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/13.md @@ -0,0 +1,73 @@ +--- +title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 13" +lang: "cs" +--- + +[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module} + +\def\sectioneject{} + +[]{c=head} + +Ramseyovské problémy +==================== + + +::: {c=from_lesson} +Ramseyova věta (grafová): +$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall G$ -- graf na $N$ vrcholech: $G$ obsahuje kliku na $k$ nebo nezávislou množinu na $l$ vrcholech. + +Ramseyova věta (dvojbarevná): +$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ vrcholech. +::: + +Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá ($K_N$ značí úplný graf na množině vrcholů $\{0,1,\dots, N-1\}$): + +a) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude +existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, který obsahuje vrchol číslo 0. +b) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude +existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, jehož každý vrchol je mocnina dvojky. +c) Trojbarevná verze: $\forall k,l,m \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře/zeleně: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ nebo zelený na $m$ vrcholech. +d) Vícebarevná: $\forall c, k \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení $c$ barvami hran grafu $K_N$: $G$ obsahuje jednobarevný indukovaný podgraf na $k$ vrcholech. + + +Nekonečná Ramseyova věta +======================== + +::: {c=from_lesson} +Ramseyovy věta (vícebarevná, hypergrafová, nekonečná): $\forall b \in \N, p \in \N$, pokud libovolně +obarvíme všechny $p$-prvkové podmnožiny $\N$ pomocí $b$ barev, tak bude existovat nekonečná množina $X \subseteq \N$, jejíž +všechny $p$-prvkové podmnožiny mají stejnou barvu. +::: + +a) Dokažte, že v každé nekonečné posloupnost reálných čísel lze najít nekonečnou rostoucí podposloupnost, + nekonečnou klesající podposloupnost, nebo nekonečnou konstantní podposloupnost. +b) Dokažte, že v každé spočetné nekonečné množině bodů v rovině lze najít nekonečně mnoho bodů, které + všechny leží na společné přímce, nebo nekonečně mnoho bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce. + +\vfill\eject + +Konečná šachovnice +================== + +Mějme “šachovnici” tvaru $N\times N$ , pro nějaké $N \in \N$. Máme k dispozici $b$ barev a každé políčko šachovnice +obarvíme některou z těchto barev. Dokažte, že pokud je $N$ dost velké v závislosti na $b$, tak platí následující: + +a) Existuje deset políček ve stejném řádku, která mají všechna stejnou barvu. +b) Existují dva řádky a dva sloupce takové, že všechna čtyři políčka na jejich průsečících mají stejnou barvu. +c) Existuje deset řádků a deset sloupců takových, že všech 100 políček na jejich průsečících má stejnou barvu. + +Jak velké N stačí k tomu, aby byla tvrzení splněná? + +Nekonečná šachovnice +==================== + +Mějme nyní nekonečnou “šachovnici”, jejíž řádky i sloupce jsou očíslované přirozenými čísly. + +a) Ukažte, pro libovolné $m \in N$, že pokud libovolně obarvíme políčka této šachovnice dvěma barvami, tak bude + existovat “jednobarevná podšachovnice tvaru $m \times \infty$”, tj. vždy půjde vybrat $m$ řádků a nekonečně mnoho + sloupců tak, že jejich průsečíky budou mít všechny stejnou barvu. +b) Ukažte, že existuje obarvení políček nekonečné šachovnice dvěma barvami, ve kterém neexistuje “jednobarevná podšachovnice tvaru $\infty\times\infty$”, + tj. nelze vybrat nekonečně mnoho řádků a nekonečně mnoho sloupců + tak, aby všechna políčka na jejich průsečících měla stejnou barvu. + diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py index 9f72a74..198a057 100644 --- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py @@ -84,7 +84,7 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module: b<<lesson(10, "3. 12.", b._bucket("Vrcholová souvisloust a ušaté lemma + ", b._locallink(test).b("Test"))) b<<lesson(11, "10. 12.", b._bucket("Ušaté lemma a počítání dvěma způsoby.")) b<<lesson(12, "17. 12.", b._bucket("Počítání dvěma způsoby a Ramseyova věta.")) - b<<lesson(13, "7. 1.", b._bucket(), pdf=False) + b<<lesson(13, "7. 1.", b._bucket("Ramseyova věta.")) return base_page(b.root) -- GitLab