From 54e289e1278507271109a8333de7bde9400c3323 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jiri Kalvoda <jirikalvoda@kam.mff.cuni.cz>
Date: Tue, 7 Jan 2025 21:29:11 +0100
Subject: [PATCH] KG1: 13. cv

---
 jk_web/teaching_24_kg1/13.md       | 73 ++++++++++++++++++++++++++++++
 jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py |  2 +-
 2 files changed, 74 insertions(+), 1 deletion(-)
 create mode 100644 jk_web/teaching_24_kg1/13.md

diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/13.md b/jk_web/teaching_24_kg1/13.md
new file mode 100644
index 0000000..6a757d4
--- /dev/null
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/13.md
@@ -0,0 +1,73 @@
+---
+title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 13"
+lang: "cs"
+---
+
+[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
+
+\def\sectioneject{}
+
+[]{c=head}
+
+Ramseyovské problémy
+====================
+
+
+::: {c=from_lesson}
+Ramseyova věta (grafová):
+$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall G$ -- graf na $N$ vrcholech: $G$ obsahuje kliku na $k$ nebo nezávislou množinu na $l$ vrcholech.
+
+Ramseyova věta (dvojbarevná):
+$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ vrcholech.
+:::
+
+Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá ($K_N$ značí úplný graf na množině vrcholů $\{0,1,\dots, N-1\}$):
+
+a) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
+existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, který obsahuje vrchol číslo 0.
+b) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
+existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, jehož každý vrchol je mocnina dvojky.
+c) Trojbarevná verze: $\forall k,l,m \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře/zeleně: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ nebo zelený na $m$ vrcholech.
+d) Vícebarevná: $\forall c, k \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení $c$ barvami hran grafu $K_N$: $G$ obsahuje jednobarevný indukovaný podgraf na $k$ vrcholech.
+
+
+Nekonečná Ramseyova věta
+========================
+
+::: {c=from_lesson}
+Ramseyovy věta (vícebarevná, hypergrafová, nekonečná): $\forall b \in \N, p \in \N$, pokud libovolně
+obarvíme všechny $p$-prvkové podmnožiny $\N$ pomocí $b$ barev, tak bude existovat nekonečná množina $X \subseteq \N$, jejíž
+všechny $p$-prvkové podmnožiny mají stejnou barvu.
+:::
+
+a) Dokažte, že v každé nekonečné posloupnost reálných čísel lze najít nekonečnou rostoucí podposloupnost,
+   nekonečnou klesající podposloupnost, nebo nekonečnou konstantní podposloupnost.
+b) Dokažte, že v každé spočetné nekonečné množině bodů v rovině lze najít nekonečně mnoho bodů, které
+   všechny leží na společné přímce, nebo nekonečně mnoho bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce.
+
+\vfill\eject
+
+Konečná šachovnice
+==================
+
+Mějme “šachovnici” tvaru $N\times N$ , pro nějaké $N \in \N$. Máme k dispozici $b$ barev a každé políčko šachovnice
+obarvíme některou z těchto barev. Dokažte, že pokud je $N$ dost velké v závislosti na $b$, tak platí následující:
+
+a) Existuje deset políček ve stejném řádku, která mají všechna stejnou barvu.
+b) Existují dva řádky a dva sloupce takové, že všechna čtyři políčka na jejich průsečících mají stejnou barvu.
+c) Existuje deset řádků a deset sloupců takových, že všech 100 políček na jejich průsečících má stejnou barvu.
+
+Jak velké N stačí k tomu, aby byla tvrzení splněná?
+
+Nekonečná šachovnice
+====================
+
+Mějme nyní nekonečnou “šachovnici”, jejíž řádky i sloupce jsou očíslované přirozenými čísly.
+
+a) Ukažte, pro libovolné $m \in N$, že pokud libovolně obarvíme políčka této šachovnice dvěma barvami, tak bude
+   existovat “jednobarevná podšachovnice tvaru $m \times \infty$”, tj. vždy půjde vybrat $m$ řádků a nekonečně mnoho
+   sloupců tak, že jejich průsečíky budou mít všechny stejnou barvu.
+b) Ukažte, že existuje obarvení políček nekonečné šachovnice dvěma barvami, ve kterém neexistuje “jednobarevná podšachovnice tvaru $\infty\times\infty$”,
+   tj. nelze vybrat nekonečně mnoho řádků a nekonečně mnoho sloupců
+   tak, aby všechna políčka na jejich průsečících měla stejnou barvu.
+
diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
index 9f72a74..198a057 100644
--- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
@@ -84,7 +84,7 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module:
                     b<<lesson(10, "3. 12.", b._bucket("Vrcholová souvisloust a ušaté lemma + ", b._locallink(test).b("Test")))
                     b<<lesson(11, "10. 12.", b._bucket("Ušaté lemma a počítání dvěma způsoby."))
                     b<<lesson(12, "17. 12.", b._bucket("Počítání dvěma způsoby a Ramseyova věta."))
-                    b<<lesson(13, "7. 1.", b._bucket(), pdf=False)
+                    b<<lesson(13, "7. 1.", b._bucket("Ramseyova věta."))
 
 
         return base_page(b.root)
-- 
GitLab