Skip to content
GitLab
Explore
Sign in
Primary navigation
Search or go to…
Project
Ú
Úvod do kryptografie
Manage
Activity
Members
Labels
Plan
Issues
Issue boards
Milestones
Wiki
Code
Merge requests
Repository
Branches
Commits
Tags
Repository graph
Compare revisions
Snippets
Deploy
Releases
Package registry
Model registry
Operate
Terraform modules
Monitor
Incidents
Analyze
Value stream analytics
Contributor analytics
Repository analytics
Model experiments
Help
Help
Support
GitLab documentation
Compare GitLab plans
GitLab community forum
Contribute to GitLab
Provide feedback
Keyboard shortcuts
?
Snippets
Groups
Projects
Show more breadcrumbs
Martin Mareš
Úvod do kryptografie
Commits
8ecb16bc
Commit
8ecb16bc
authored
2 months ago
by
Martin Mareš
Browse files
Options
Downloads
Patches
Plain Diff
Teorie čísel: Generování prvočísel a generátorů
parent
cf4d5bbf
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Changes
1
Show whitespace changes
Inline
Side-by-side
Showing
1 changed file
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
+27
-2
27 additions, 2 deletions
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
with
27 additions
and
2 deletions
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
+
27
−
2
View file @
8ecb16bc
...
@@ -595,7 +595,10 @@ a randomizovaný algoritmus byl na~světě.
...
@@ -595,7 +595,10 @@ a randomizovaný algoritmus byl na~světě.
generovat náhodná
$
b
$
-bitová čísla (začínající na~1), testovat, zda to jsou
generovat náhodná
$
b
$
-bitová čísla (začínající na~1), testovat, zda to jsou
prvočísla, a~opakovat, dokud nedostaneme prvočíslo.
prvočísla, a~opakovat, dokud nedostaneme prvočíslo.
TODO
Jak efektivní tento přístup bude? Je známo, že hustota prvočísel okolo~
$
N
$
je přibližně
$
1
/
\ln
N
$
. Tudíž pravděpodobnost, že náhodné
$
b
$
-bitové číslo
bude prvočíslem, je
$
\Theta
(
1
/
b
)
$
. Podle lemmatu o~chození se džbánem pro vodu
tedy na prvočíslo narazíme po průměrně
$
\Theta
(
b
)
$
pokusech.
\section
{
Diskrétní logaritmy
}
\section
{
Diskrétní logaritmy
}
...
@@ -643,7 +646,29 @@ Prvočíselných dělitelů totiž musí být $\O(b)$.
...
@@ -643,7 +646,29 @@ Prvočíselných dělitelů totiž musí být $\O(b)$.
\subsection
{
Hledání generátoru
}
\subsection
{
Hledání generátoru
}
TODO
Pro hledání generátoru se nabízí podobně jako u~prvočísel náhodně vybírat prvky~
$
\Zsp
$
,
dokud nenarazíme na generátor. Aby to bylo efektivní, potřebujeme, aby generátory byly
v~
$
\Zsp
$
dostatečně časté.
\lemma
{
Nechť
$
g
$
~je nějaký generátor~
$
\Zsp
$
. Pak
$
g
^
i
$
je generátor právě tehdy, když
$
i
\perp
p
-
1
$
.
}
\proof
Zajímá nás, zda mocniny
$
(
g
^
i
)
^
j
=
g
^{
ij
}$
pro
$
j
=
0
,
\ldots
,p
-
2
$
projdou celou multiplikativní grupu.
Prvek
$
g
^
k
$
navštívíme právě tehdy, když pro nějaké~
$
j
$
platí
$
k
\equiv
_{
p
-
1
}
ij
$
.
Pro
$
k
=
1
$
je takové
$
j
$
multiplikativní inverzí~
$
i
$
modulo~
$
p
-
1
$
a ta existuje právě tehdy, když
$
i
\perp
p
-
1
$
.
Ovšem najdeme-li takové~
$
j
$
, dostaneme libovolné
$
g
^
k
$
jako
$
g
^{
ijk
}
\equiv
(
g
^
i
)
^{
jk
}$
.
\qed
\corr
{
Grupa
$
\Zsp
$
má
$
\varphi
(
p
-
1
)
$
generátorů.
}
Generátory budeme často potřebovat v~případech, kdy
$
p
=
2
q
+
1
$
, kde
$
q
$
je také prvočíslo.
Tehdy
$
\varphi
(
p
-
1
)
=
\varphi
(
2
q
)
=
\varphi
(
2
)
\varphi
(
q
)
=
1
\cdot
(
q
-
1
)
=
q
-
1
\approx
p
/
2
$
.
Generátory tedy tvoří přibližně polovinu prvků~
$
\Zsp
$
, takže po průměrně dvou pokusech
nějaký najdeme.
\section
{
Diskrétní odmocniny
}
\section
{
Diskrétní odmocniny
}
...
...
This diff is collapsed.
Click to expand it.
Preview
0%
Loading
Try again
or
attach a new file
.
Cancel
You are about to add
0
people
to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Save comment
Cancel
Please
register
or
sign in
to comment