Teorie čísel: Kvadratické zbytky (skoro)

07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex

@@ -672,6 +672,91 @@ nějaký najdeme.
 
 \section{Diskrétní odmocniny}
 
+Prozkoumejme, jak se v~$\Zp$ chovají druhé odmocniny (v~tomto oddílu budeme říkat prostě odmocniny).
+Ptáme se tedy na řešení kongruence $x^2\equiv_p a$ pro dané~$a$.
+
+\example{
+V~$\Z_5$ je $0^2 \equiv 0$, $1^2 \equiv 4^2 = 1$ a $2^2 \equiv 3^2 \equiv 4$.
+Prvky 1 a~4 tedy mají dvě různé odmocniny, 0 má jednu a 2 ani 3 žádnou.
+}
+
+Tohle není náhoda:
+
+\theorem{
+V~každém tělese $\Zp$ má prvek 0 právě jednu odmocninu, $(p-1)/2$ prvků má dvě odmocniny
+(těmto prvkům se říká \em{kvadratické zbytky}) a zbylých $(p-1)/2$ prvků nemá žádnou.
+Zvolíme-li libovolný generátor~$\Zp$, kvadratické zbytky jsou ty prvky, jejichž
+diskrétní logaritmy jsou sudé.
+}
+
+\proof
+Je-li $x^2\equiv a$, je také $(-x)^2\equiv a$. Odmocniny se tedy vyskytují
+v~párech. Přitom $x \equiv -x$ pouze pro $x=0$, takže každý nenulový prvek má sudý
+počet odmocnin. 0~má jen jednu (součinem nenulových prvků není nikdy~0).
+
+Odmocniny prvku~$a$ jsou kořeny kvadratického polynomu $x^2-a$ a ty mohou
+v~libovolném tělese existovat nejvýš~2. To v~kombinaci s~předchozím odstavcem dává,
+že každy nenulový prvek má 0 nebo 2 odmocniny.
+
+Každý nenulový prvek~$\Zp$ leží v~$\Zsp$, takže ho můžeme napsat jako mocninu nějakého
+generátoru~$g$. Polovinu~$\Zsp$ tvoří sudé mocniny $g^{2k}$ a ty jistě mají druhou
+odmocninu $g^k$, a~tím pádem i $g-^k$. Těchto $(p-1)/2$ čísel patří mezi kvadratické
+zbytky.
+
+Každé z~nich ovšem spotřebovalo 2~prvky $\Zsp$ na své odmocniny, takže na zbylých $(p-1)/2$
+prvků žádné odmocniny nezbyly. Zbylé prvky tedy kvadratickými zbytky nejsou.
+\qed
+
+\lemma{
+Pro libovolný generátor~$g$ platí $g^{(p-1)/2} \equiv -1$.
+}
+
+\proof
+$g^{(p-1)/2}$ je odmocnina z~$g^(p-1) \equiv 1$. Odmocniny z~jedničky existují
+dvě: 1 a~$-1$. Ovšem 1 to být nemůže, protože by se mocniny generátoru začaly
+opakovat dřív, než by vygenerovaly celou~$\Zsp$.
+\qed
+
+Jelikož diskrétní logaritmy je těžké počitat, bude se hodit efektivnější test
+na kvadratické zbytky:
+
+\theoremn{Eulerovo kriterium}{
+Pro $x\in\Zsp$ je $x^{(p-1)/2}$ rovno~1, pokud $x$ je kvadratický zbytek,
+a~rovno $-1$, pokud není.
+}
+
+\proof
+Opět uvažujme~$x$ jako mocninu nějakého generátoru~$g$. Pokud $x\equiv g^{2k}$
+(a~tedy $x$ je kvadratický zbytek), dostaneme
+$$
+\left( g^{2k} \right) ^{p-1\over 2}
+\equiv g^{2k(p-1)\over 2}
+\equiv g^{k(p-1)}
+\equiv (g^{p-1})^k
+\equiv 1^k
+\equiv 1.
+$$
+Pro $x\equiv g^{2k+1}$ (není kvadratický zbytek), vyjde
+$$
+\left( g^{2k+1} \right) ^{p-1\over 2}
+\equiv g^{2k(p-1)\over 2} \cdot g^{p-1}
+\equiv 1 \cdot (-1)
+\equiv -1.
+$$
+\qed
+
+\corr{
+Množina všech kvadratických zbytků tvoří podgrupu~$\Zsp$.
+}
+
+\corr{
+Testovat, zda číslo je kvadratickým zbytkem, lze v~čase $\O(b^3)$.
+}
+
+TODO: Výpočet odmocnin.
+
+TODO: Odmocniny modulo složené číslo.
+
 \sectionstar{Rozbor Rabinova-Millerova testu}
 
 O~Rabinově-Millerově testu již víme, že prvočíslo vždy prohlásí za~prvočíslo