Teorie čísel: Faktorizace vs. prvočíselnost, 1. část

07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex

@@ -433,6 +433,35 @@ který nepotřebuje faktorizaci, není znám.
 
 \section{Faktorizace versus prvočíselnost}
 
+Mezi základní algoritmické problémy teorie čísel patří \em{faktorizace} celých čísel
+(rozklad na součin prvočísel) a testování, zda dané číslo je prvočíslem. Jakkoliv podobně
+tyto problémy vypadají, jejich obtíznost je zásadně různa.
+
+Faktorizace:
+
+\tightlist{o}
+\:Známe triviální exponenciální algoritmus (zkoušení všech dělitelů až do odmocniny trvá $\O(2^{b/2}b^2)$).
+\:Neznáme žádný polynomiální algoritmus.
+\:Známe subexponenciální algoritmy, zatím nejlepší je general number field sieve
+se složitostí $\exp(1.923\cdot(\log n)^{1/3}(\log\log n)^{2/3})$. Paralelní verze
+tohoto algoritmu běžící na stovkách počítačů dokázala v~roce 2020 faktorizovat 829-bitové číslo.
+\:Rozhodovací verze (je dáno~$x$ a interval $[a,b]$, existuje dělitel čísla~$x$ ležící v~intervalu?)
+leží v~průniku $\NP$ a $\cc{co-NP}$, považuje se za nepravděpodobné, že by byla \NP-úplná.
+\:Známe polynomiální kvantový algoritmus (Shorův z~roku 1994).
+\endlist
+
+Prvočíselnost:
+
+\tightlist{o}
+\:Známe rychlé pravděpodobnostní testy s~malou pravděpodobností chyby.
+\:Známe deterministické polynomiální algoritmy, zatím nejlepší je od Lenstry a Pomerance
+  se složitostí $\O(b^6\log^c b)$. V~praxi jsou mnohem pomalejší než ty pravděpodobnostní.
+\endlist
+
+\subsection{Fermatův test}
+
+\subsection{Rabinův-Millerův test}
+
 \section{Diskrétní logaritmy}
 
 \section{Diskrétní odmocniny}