From 4d1eac78034b0cc3580fea5eb1583df2b2ec4d2c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Thu, 10 Apr 2025 19:02:43 +0200
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Teorie=20=C4=8D=C3=ADsel:=20Faktorizace=20vs.?=
=?UTF-8?q?=20prvo=C4=8D=C3=ADselnost,=201.=20=C4=8D=C3=A1st?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
---
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex | 29 +++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 29 insertions(+)
diff --git a/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex b/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
index 33b01f0..15bd6de 100644
--- a/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
+++ b/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
@@ -433,6 +433,35 @@ který nepotřebuje faktorizaci, není znám.
\section{Faktorizace versus prvočíselnost}
+Mezi základní algoritmické problémy teorie čísel patří \em{faktorizace} celých čísel
+(rozklad na součin prvočísel) a testování, zda dané číslo je prvočíslem. Jakkoliv podobně
+tyto problémy vypadají, jejich obtíznost je zásadně různa.
+
+Faktorizace:
+
+\tightlist{o}
+\:Známe triviální exponenciální algoritmus (zkoušení všech dělitelů až do odmocniny trvá $\O(2^{b/2}b^2)$).
+\:Neznáme žádný polynomiální algoritmus.
+\:Známe subexponenciální algoritmy, zatím nejlepší je general number field sieve
+se složitostí $\exp(1.923\cdot(\log n)^{1/3}(\log\log n)^{2/3})$. Paralelní verze
+tohoto algoritmu běžící na stovkách počítačů dokázala v~roce 2020 faktorizovat 829-bitové číslo.
+\:Rozhodovací verze (je dáno~$x$ a interval $[a,b]$, existuje dělitel čísla~$x$ ležící v~intervalu?)
+leží v~průniku $\NP$ a $\cc{co-NP}$, považuje se za nepravděpodobné, že by byla \NP-úplná.
+\:Známe polynomiální kvantový algoritmus (Shorův z~roku 1994).
+\endlist
+
+Prvočíselnost:
+
+\tightlist{o}
+\:Známe rychlé pravděpodobnostní testy s~malou pravděpodobností chyby.
+\:Známe deterministické polynomiální algoritmy, zatím nejlepší je od Lenstry a Pomerance
+ se složitostí $\O(b^6\log^c b)$. V~praxi jsou mnohem pomalejší než ty pravděpodobnostní.
+\endlist
+
+\subsection{Fermatův test}
+
+\subsection{Rabinův-Millerův test}
+
\section{Diskrétní logaritmy}
\section{Diskrétní odmocniny}
--
GitLab