Teorie čísel: Ještě důkaz Lagrange

07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex

@@ -155,10 +155,32 @@ Konečná cyklická grupa řádu~$n$ je vždy izomorfní se~$\Zn$, nekonečná j
 Je-li $g$ generátor, funkce $x \mapsto g^x$ je izomorfismem.
 }
 
-\claimn{Langrangeova věta}{
+\theoremn{Lagrangeova}{
 Pokud má konečná grupa $G$ nějakou podgrupu $H$, platí $|H| \divs |G|$.
 }
 
+\proof
+Uvažme všechny množiny $xH = \{ xh \mid h\in H \}$, kde $x\in G$.
+To jsou \uv{posunuté kopie} podgrupy~$H$.
+Nejprve si všimneme, že každá kopie~$xH$ ma stejný počet prvků jako~$H$.
+Zobrazení $h \mapsto xh$ z~$H$ do~$xH$ je totiž invertibilní (má inverzi
+$t \mapsto x\inv t$), takže je to bijekce.
+
+Pak nahlédneme, že každé dvě $xH$ a~$yH$ jsou si buď rovny, nebo jsou disjunktní.
+Ukažeme, že pokud $xH$ a~$yH$ nejsou disjunktní, pak $xH \subseteq yH$, a~druhá inkluze se dá
+dokázat analogicky.
+Nechť existuje $a\in xH \cap yH$. To znamená, že $a=xh_x=yh_y$ pro nějaká
+$h_x\in H$ a~$h_y\in H$.
+Z~toho dostaneme $x=yh_yh_x\inv$.
+Chceme ukázat, že každý prvek $d\in xH$ leží také v~$yH$.
+Takové~$d$ lze napsat jako $xh$ pro $h\in H$.
+To je ovšem rovno $yh_yh_x\inv h$, což leží v~$yH$, neboť $H$ je uzavřená na operace.
+
+Navíc pro všechna $x\in G$ máme $x\in xH$ (neboť v~$H$ je jednotkový prvek).
+Proto systém množin $\{ xH \mid \x\in G \}$ tedy tvoří rozklad~$G$ na disjunktní
+stejně velké množiny. Z~toho přímo plyne tvrzení věty.
+\qed
+
 \subsection{Okruhy a tělesa}
 
 \defn{