From 41afe093291f0d704df1942775facc99ee3cfaa9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Martin Mares <mj@ucw.cz> Date: Sat, 12 Apr 2025 16:59:23 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Teorie=20=C4=8D=C3=ADsel:=20Je=C5=A1t=C4=9B=20d?= =?UTF-8?q?=C5=AFkaz=20Lagrange?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex | 24 +++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 23 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex b/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex index 063b2e5..89b0edf 100644 --- a/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex +++ b/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex @@ -155,10 +155,32 @@ Konečná cyklická grupa řádu~$n$ je vždy izomorfní se~$\Zn$, nekonečná j Je-li $g$ generátor, funkce $x \mapsto g^x$ je izomorfismem. } -\claimn{Langrangeova věta}{ +\theoremn{Lagrangeova}{ Pokud má konečná grupa $G$ nějakou podgrupu $H$, platí $|H| \divs |G|$. } +\proof +Uvažme všechny množiny $xH = \{ xh \mid h\in H \}$, kde $x\in G$. +To jsou \uv{posunuté kopie} podgrupy~$H$. +Nejprve si všimneme, že každá kopie~$xH$ ma stejný počet prvků jako~$H$. +Zobrazení $h \mapsto xh$ z~$H$ do~$xH$ je totiž invertibilní (má inverzi +$t \mapsto x\inv t$), takže je to bijekce. + +Pak nahlédneme, že každé dvě $xH$ a~$yH$ jsou si buď rovny, nebo jsou disjunktní. +Ukažeme, že pokud $xH$ a~$yH$ nejsou disjunktní, pak $xH \subseteq yH$, a~druhá inkluze se dá +dokázat analogicky. +Nechť existuje $a\in xH \cap yH$. To znamená, že $a=xh_x=yh_y$ pro nějaká +$h_x\in H$ a~$h_y\in H$. +Z~toho dostaneme $x=yh_yh_x\inv$. +Chceme ukázat, že každý prvek $d\in xH$ leží také v~$yH$. +Takové~$d$ lze napsat jako $xh$ pro $h\in H$. +To je ovšem rovno $yh_yh_x\inv h$, což leží v~$yH$, neboť $H$ je uzavřená na operace. + +Navíc pro všechna $x\in G$ máme $x\in xH$ (neboť v~$H$ je jednotkový prvek). +Proto systém množin $\{ xH \mid \x\in G \}$ tedy tvoří rozklad~$G$ na disjunktní +stejně velké množiny. Z~toho přímo plyne tvrzení věty. +\qed + \subsection{Okruhy a tělesa} \defn{ -- GitLab