Obousměrné automaty

01-regular/regular.tex

@@ -780,7 +780,7 @@ Ukažte, jak tyto výrazy počítat indukcí podle~$k$ a jak z~nich získat regu
 pro jazyk automatu. Srovnejte délky výrazu s~předchozím cvičením.
 }
 
-\ex{\em{Kvocienty jazyků:} Pro jazyky $A$ a~$B$ nad abecedou~$\Sigma$ definujeme
+\ex[quotex]{\em{Kvocienty jazyků:} Pro jazyky $A$ a~$B$ nad abecedou~$\Sigma$ definujeme
 \em{pravý kvocient} $A/B = \{ \gamma\in\Sigma^* \mid \exists \beta\in B: \gamma\beta\in A \}$
 a \em{levý kvocient} $B\setminus A = \{ \gamma\in\Sigma^* \mid \exists \beta\in B: \beta\gamma\in A \}$.
 Je to tedy množina všech slov, která se dají získat ze slova v~$A$ odebráním suffixu/prefixu,

03-recursive/recursive.tex

@@ -240,7 +240,8 @@ doleva; pokud narazí na~\|>|, nesmí jít doprava.
 
 Obousměrné automaty se tedy mohou po vstupu libovolně pohybovat, ale nesmí
 ho měnit. Na rozdíl od obyčejných automatů mohou divergovat.
-Překvapivě opět rozhodují jenom regulární jazyky (toto tvrzení ponecháme bez důkazu).
+Překvapivě opět rozhodují jenom regulární jazyky (toto tvrzení dokážeme
+v~oddílu \secref{tfa}).
 
 \subsection{Vícepáskové stroje}
 
@@ -879,10 +880,6 @@ Všechny jazyky v~těchto třídách jsou rozhodnutelné.
 
 \exercises
 
-\ex{Dokažte, že $\cc{SPACE}(c)$ a $\cc{NSPACE}(c)$ jsou pro všechny konstanty
-$c\in\N$ rovny třídě regulárních jazyků~$\Ell_1$. Využijte tvrzení o~obousměrných
-automatech z~oddílu \secref{tmvariants}.}
-
 \exx{Třídy $\cc{P}$ a $\cc{NP}$ jsme už jednou zavedli v~kapitole Průvodce o~těžkých problémech
 (ale pouze pro binární abecedu, zatímco zde připouštíme obecnou). Třídu $\cc{NP}$ jsme v~Průvodci definovali pomocí
 certifikátů. Dokažte, že je to ekvivalentní se zdejší definicí pomocí nedeterministického stroje.}
@@ -897,4 +894,88 @@ tato inkluze je ostrá?}
 
 \endexercises
 
+\sectionstar[tfa]{Obousměrné konečné automaty}
+
+Když jsme v~oddílu \secref{tmvariants} zkoumali varianty Turingových strojů,
+narazili jsme na \em{obousměrný konečný automat} neboli TFA \em{(two-way finite-state automaton).}
+Nebyl by to výstižnější model výpočtů v~konstantním prostoru než konečný automat?
+Nyní dokážeme, že to vyjde nastejno -- každý jazyk přijímaný obousměrným automatem je regulární.
+
+Připomeňme definici: TFA je Turingův stroj, který dostane vstup $\|<|\alpha\|>|$
+a nemá ho povoleno měnit. Navíc na levé zarážce~$\|<|$ nesmí vykonat pohyb doleva
+a na pravé zarážce~$\|>|$ nesmí jít doprava. Aby byl TFA podobnější konečným automatům,
+výpočet začíná s~hlavou na prvním znaku slova~$\alpha$. To je ale detail: TFA můžeme snadno upravit,
+aby výpočet začínal na~$\|<|$ -- stačí přidat nový počáteční stav, v~němž provedeme jeden pohyb
+hlavou doprava a přejdeme do původního počátečního stavu.
+
+Uvažme TFA rozpoznávající nějaký jazyk~$L$.
+Nechť $\alpha$ značí vstup automatu a $n$ jeho délku.
+Dodefinujme $\alpha[-1] = \|<|$ a $\alpha[n] = \|>|$.
+
+Představme si, že jsme někde uvnitř výpočtu, hlava stojí na $i$-tém políčku slova~$\alpha$,
+stroj se právě přepíná ze stavu~$s$ do~$s'$ a chystá se odejít doprava do nějakého suffixu $\alpha[i+1:{}]$.
+Jak bude výpočet pokračovat? Jedna možnost je, že se stroj po čase vrátí zprava na $i$-té políčko v~nějakém novém stavu,
+přičemž nic kromě stavu stroje se nezměnilo (na pásku nemůžeme zapisovat).
+Nebo se předtím stroj stihl zastavit a přijmout/odmítnout.
+Případně se stroj zacyklil v~nekonečné smyčce, což rovněž odpovídá odmítnutí vstupu.
+
+Formálně můžeme chování stroje na suffixu vstupu $\alpha[i:{}]$ popsat nějakou funkcí~$f_i(s)$,
+která počátečnímu stavu~$s\in Q\setminus\{q_+, q_-\}$ přiřadí stav~$s'\in Q$, v~němž stroj odchází
+ze suffixu doleva. Pokud je $s=q_+$, stroj se místo odejití doleva zastavil a přijal.
+Pokud $s=q_-$, stroj odmítl zastavením nebo zacyklením se.
+
+Ukážeme, jak sestrojit funkci~$f_i$, pokud už známe~$f_{i+1}$.
+Chceme-li stanovit $f(s)$, budeme konstruovat posloupnost stavů $s_0$, $s_1$, $s_2$, \dots.
+Na počátku položíme $s_0=s$.
+
+Nechť známe~$s_j$. Podíváme se, co stroj provede, přečte-li ve stavu~$s_j$ znak~$\alpha[i]$.
+Vyhodnotíme tedy přechodovou funkci $\delta(s_j, \alpha[i])$, čímž získáme instrukci, která
+přechází do stavu~$s'_j$, zapisuje nezměněný znak~$\alpha[i]$ a možná pohybuje hlavou:
+
+\list{o}
+\:Pokud hlava odchází doleva, položíme $f_i(s) = s'_j$ a jsme hotovi.
+\:Pokud hlava zůstává na místě, položíme $s_{j+1} = s'_j$ a pokračujeme ve vytváření posloupnosti
+s~několika výjimkami: Je-li $s'_j$ rovno $q_+$ nebo~$q_-$, položíme $f_i(s) = s'_j$ a skončíme.
+Je-li $s'_j$ rovno některému z~předešlých~$s_k$ pro $k\le j$, stroj se zacyklil, takže položíme
+$f_i(s) = q_-$ a skončíme.
+\:Pokud hlava odchází doprava, využijeme známou funkci $f_{i+1}$ popisující chování na suffixu
+$\alpha[i+1:{}]$, takže položíme $s_{j+1} = f_{i+1}(s'_j)$. Opět ošetříme případy, kdy je tento
+stav roven $q_+$, $q_-$, případně některému z~předchozích stavů v~posloupnosti.
+\endlist
+
+Všimněte si, že funkce~$f_i$ je jednoznačně určena funkcí~$f_{i+1}$ a znakem $\alpha[i]$.
+To nám dává návod na sestrojení konečného automatu, který bude procházet vstupem zprava doleva
+a postupně přepočítávat funkci~$f_i$. Stavy automaty odpovídají všem funkcím z~$Q\setminus\{q_+,q_-\}$ do~$Q$,
+takže jich je konečně mnoho.
+
+Zbývá dořešit, jak automat začne a jak skončí.
+
+Použijeme-li naši konstrukci pro funkci~$f_n$, tedy chování výpočtu na pravé zarážce~\|>|,
+nikdy se nezeptá na neexistující~$f_{n+1}$. To proto, že stroj se na pravé zarážce nemůže
+pohybovat doprava. Funkce~$f_n$ je tedy nezávislá na vstupu, takže může posloužit jako
+počáteční stav automatu.
+
+Až automat přečte levou zarážku~$\|<|$, bude jeho stav roven funkci~$f_{-1}$.
+Nyní do této funkce dosadíme počáteční stav~$q_0$ původního TFA.
+Je-li $f_{-1}(q_0)$ rovno~$q_+$, vstup přijmeme, jinak odmítneme.
+
+Tím jsme sestrojili automat dosvědčující regularitu. Ovšem ne původního jazyka~$L$,
+nýbrž jazyka $L' = L\rev\cdot\{\|<|\}$, v~němž jsou slova pozpátku a ukončená zarážkou.
+
+Teď si stačí uvědomit, že z~regularity~$L'$ plyne regularita~$L\rev$ a z~ní zase regularita~$L$.
+Regularitu $L\rev$ můžeme zdůvodnit cvičením \exref{quotex}, protože $L\rev$ je kvocient $L' / \{\|<|\}$.
+Nebo to lze provést přímo úpravou koncových stavů: za koncové prohlásíme ty stavy, z~nichž vede přechod
+před znak~$\|<|$ do některého z~původních koncových stavů.
+Regularitu~$L$ dostaneme z~uzavřenosti regulárních výrazů na otočení (cvičení \exref{regrev}).
+
+\exercises
+
+\ex{Dokažte, že třída $\cc{SPACE}(c)$ pro libovolnou konstantu~$c$ odpovídá
+jazykům rozpoznatelným TFA, tedy regulárním. Nezapomeňte na pracovní pásky.}
+
+\ex{Rozšiřte definici TFA o~nedeterminismus. Dokažte, že nedeterministické TFA také rozpoznávají
+pouze regulární jazyky. Z~toho plyne, že $\cc{NSPACE}(c) = \cc{SPACE}(c) = \Ell_3$.}
+
+\endexercises
+
 \endchapter

TODO

@@ -15,4 +15,4 @@ Rekurzivní:
 
 Rozšíření:
 
-- obousměrné konečné automaty
+- cvičení: automaty s kamínkem