Opravy kolem (polo)okruhů

01-regular/regular.tex

@@ -788,13 +788,12 @@ V~tomto oddílu prozkoumáme některé souvislosti mezi teorií automatů
 a algebrou. Předpokládáme čtenáře zběhlého v~základech algebry, takže
 důkazy jsou zde poněkud hutnější.
 
-\subsection{Monoidy a okruhy}
+\subsection{Monoidy a polookruhy}
 
 \defn{
 \df{Monoid} je algebraická struktura $(X,\cdot,1)$, kde $X$ je množina prvků,
 $\cdot$ nějaká asociativní binární operace a~$1$ její jednotkový prvek (platí
-$1\cdot x = x\cdot 1 = x$ pro všechna $x\in X$).\foot{Je to tedy něco jako grupa,
-ale k~$+$ nemusí existovat inverze.}
+$1\cdot x = x\cdot 1 = x$ pro všechna $x\in X$).
 Pokud $\cdot$ navíc komutuje, mluvíme o~komutativním monoidu.
 }
 
@@ -813,28 +812,35 @@ a jako jednotkový prvek slouží prázdný řetězec~$\varepsilon$. Tomuto mono
 }
 
 \defn{
-\df{Okruh} je algebraická struktura $(X,+,\cdot,0,1)$, kde $+$ a~$\cdot$ jsou
+\df{Polookruh} je algebraická struktura $(X,+,\cdot,0,1)$, kde $+$ a~$\cdot$ jsou
 binární operace, $(X,\cdot,1)$ tvoří monoid, $(X,+,0)$ tvoří komutativní monoid
-a navíc jsou $+$ a~$\cdot$ svázány distributivitou z~obou stran:
+a operace $+$ a~$\cdot$ jsou svázány distributivitou z~obou stran:
 $$
 	x\cdot (y+z) = x\cdot y + x\cdot z, \quad
 	(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z.
 $$
-Pokud navíc $\cdot$ komutuje, mluvíme o~komutativním okruhu.\foot{Okruh je tedy něco
-jako těleso, jen v~něm nemusí jít dělit.}
+Pokud navíc $\cdot$ komutuje, mluvíme o~komutativním polookruhu.\foot{Okruh má navíc
+inverzi ke sčítání, těleso i~inverzi k~násobení.}
+}
+
+\note{
+Častěji potkáváme \em{grupu} (monoid, v~němž existuje inverze k~násobení),
+\em{okruh} (polookruh, v~němž existuje inverze ke sčítání) a
+\em{těleso} (okruh, v~němž existuje inverze k~násobení).
 }
 
 \examples{\tightlist{o}
 \:Celá čísla $(\Z,+,\cdot,0,1)$ s~běžnými operacemi tvoří komutativní okruh.
 \:Matice $\R^{n\times n}$ spolu s~maticovým sčítáním a násobením,
-  nulovou maticí a jednotkovou maticí tvoří okruh, který pro $n>1$ komutuje.
+  nulovou maticí a jednotkovou maticí tvoří okruh, který pro $n>1$ nekomutuje.
+\:Booleova algebra $(\{0,1\},\lor,\land,0,1)$ tvoří komutativní polookruh.
 \endlist}
 
 \defn{
 Uvažme množinu $2^{\Sigma^*}$ všech jazyků nad abecedou~$\Sigma$.
 Když k~ní přidáme operaci $\cup$ sjednocení jazyků s~jednotkovým prvkem~$\emptyset$
 a operaci $\cdot$ zřetězení jazyků s~jednotkovým prvkem~$\{\varepsilon\}$,
-vznikne okruh. Říkáme mu \df{okruh jazyků} nad~$\Sigma$.
+vznikne polookruh. Říkáme mu \df{polookruh jazyků} nad~$\Sigma$.
 }
 
 \note{