Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit 3348e589 authored by Martin Mareš's avatar Martin Mareš
Browse files

Opravy kolem (polo)okruhů

parent f9ab7217
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
......@@ -788,13 +788,12 @@ V~tomto oddílu prozkoumáme některé souvislosti mezi teorií automatů
a algebrou. Předpokládáme čtenáře zběhlého v~základech algebry, takže
důkazy jsou zde poněkud hutnější.
\subsection{Monoidy a okruhy}
\subsection{Monoidy a polookruhy}
\defn{
\df{Monoid} je algebraická struktura $(X,\cdot,1)$, kde $X$ je množina prvků,
$\cdot$ nějaká asociativní binární operace a~$1$ její jednotkový prvek (platí
$1\cdot x = x\cdot 1 = x$ pro všechna $x\in X$).\foot{Je to tedy něco jako grupa,
ale k~$+$ nemusí existovat inverze.}
$1\cdot x = x\cdot 1 = x$ pro všechna $x\in X$).
Pokud $\cdot$ navíc komutuje, mluvíme o~komutativním monoidu.
}
......@@ -813,28 +812,35 @@ a jako jednotkový prvek slouží prázdný řetězec~$\varepsilon$. Tomuto mono
}
\defn{
\df{Okruh} je algebraická struktura $(X,+,\cdot,0,1)$, kde $+$ a~$\cdot$ jsou
\df{Polookruh} je algebraická struktura $(X,+,\cdot,0,1)$, kde $+$ a~$\cdot$ jsou
binární operace, $(X,\cdot,1)$ tvoří monoid, $(X,+,0)$ tvoří komutativní monoid
a navíc jsou $+$ a~$\cdot$ svázány distributivitou z~obou stran:
a operace $+$ a~$\cdot$ jsou svázány distributivitou z~obou stran:
$$
x\cdot (y+z) = x\cdot y + x\cdot z, \quad
(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z.
$$
Pokud navíc $\cdot$ komutuje, mluvíme o~komutativním okruhu.\foot{Okruh je tedy něco
jako těleso, jen v~něm nemusí jít dělit.}
Pokud navíc $\cdot$ komutuje, mluvíme o~komutativním polookruhu.\foot{Okruh má navíc
inverzi ke sčítání, těleso i~inverzi k~násobení.}
}
\note{
Častěji potkáváme \em{grupu} (monoid, v~němž existuje inverze k~násobení),
\em{okruh} (polookruh, v~němž existuje inverze ke sčítání) a
\em{těleso} (okruh, v~němž existuje inverze k~násobení).
}
\examples{\tightlist{o}
\:Celá čísla $(\Z,+,\cdot,0,1)$ s~běžnými operacemi tvoří komutativní okruh.
\:Matice $\R^{n\times n}$ spolu s~maticovým sčítáním a násobením,
nulovou maticí a jednotkovou maticí tvoří okruh, který pro $n>1$ komutuje.
nulovou maticí a jednotkovou maticí tvoří okruh, který pro $n>1$ nekomutuje.
\:Booleova algebra $(\{0,1\},\lor,\land,0,1)$ tvoří komutativní polookruh.
\endlist}
\defn{
Uvažme množinu $2^{\Sigma^*}$ všech jazyků nad abecedou~$\Sigma$.
Když k~ní přidáme operaci $\cup$ sjednocení jazyků s~jednotkovým prvkem~$\emptyset$
a operaci $\cdot$ zřetězení jazyků s~jednotkovým prvkem~$\{\varepsilon\}$,
vznikne okruh. Říkáme mu \df{okruh jazyků} nad~$\Sigma$.
vznikne polookruh. Říkáme mu \df{polookruh jazyků} nad~$\Sigma$.
}
\note{
......
0% Loading or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment