Pokus o reformu Automatů a gramatik

AG.md

+# Automaty a složitost (návrh)
+
+## Sylabus
+
+1.	Konečné automaty (1.5 přednášky)
+	* základní pojmy: abeceda, slovo, jazyk (rozhodovací problém)
+	* definice konečného automatu (DFA), syntaxe a sémantika, regulární jazyk
+	* příklad: 0^n1^n není regulární, důkaz principem holubníku
+	* příklad: v KMP uvážíme uzávěr zpětných hran a máme DFA
+	* regulární pumping lemma (zobecnění myšlenky předchozího důkazu)
+	* příklad: 1^{prvočíslo} není regulární
+	* součin automatů
+
+1.	Regulární výrazy (1 přednáška)
+	* nedeterministický konečný automat (NFA)
+	* ekvivalence DFA ↔ NFA
+	* ε-přechody, ekvivalence ε-NFA ↔ NFA
+	* uzavřenost na množinové operace
+	* regulární výrazy popisují právě regulární jazyky
+
+1.	Gramatiky (1.5 přednášky)
+	* bezkontextové gramatiky, derivační stromy, generované jazyky
+	* pravé a levé lineární gramatiky generují regulární jazyky
+	* obecné lineární gramatiky generují i neregulární jazyky
+	* jednoznačnost gramatiky
+	* Chomského normální forma
+	* algoritmus testující příslušnost slova do bezkontextového jazyka
+	  pomocí dynamického programování
+	* iterační lemma pro bezkontextové jazyky
+
+1.	Turingovy stroje (1 přednáška)
+	* Turingův stroj (TM) a jeho výpočet
+	* TM může příjímat zastavením (částečně rozhodnutelné jazyky), přijímat stavem
+	  (rozhodnutelné jazyky) nebo vydávat výstup na pásce (vyčíslitelné funkce)
+	* varianty TM:
+		- páska jen pro čtení => obousměrný konečný automat
+		  Důkaz ekvivalence s klasickým DFA.
+		- více pásek: důkaz ekvivalence s jednopáskovým TM
+		- nedeterministický TM
+	* vztah mezi TM a RAMem
+
+1.	Základy vyčíslitelnosti (1 přednáška)
+	* univerzální Turingův stroj, kódování strojů (bez detailů konstrukce)
+	* univerzální jazyk a diagonální jazyk
+	* halting problem je částečně rozhodnutelný, ale není rozhodnutelný
+	* Postova věta => doplněk halting problemu není částečně rozhodnutelný
+	* jazyk je částečně rozhodnutelný <=> jeho slova lze vyjmenovat
+	* převoditelnost jazyků
+	* Riceova věta (bez důkazu)
+
+1.	Polynomiálni složitost a P vs. NP (2.5 přednášky)
+	* třídy DTIME(f)
+	* redukce počtu pásek a univerzální TM zpomalují jen polynomiálně,
+	  stejně tak převody TM <-> RAM => třída P je nezávislá na modelu
+	* třída NP definovaná pomocí certifikátů
+	* převoditelnost v polynomiálním čase
+	* převody mezi problémy:
+		* SAT, 3-SAT, 3,3-SAT
+		* klika, nezávislá množina
+		* 3D párování
+		* ZOE (zero-one linear equations)
+		* 3-barevnost
+		* hamiltonovská cesta
+	* NP-úplnost
+	* Cookova-Levinova věta
+	* třída co-NP, tautologičnost
+	* TODO: Zmínit obvody, když už je znají z ADS2?
+
+1.	Další složitostní třídy (1 přednáška)
+	* třídy DSPACE(f), PSPACE
+	* nedeterministické třídy NTIME(f), NSPACE(f), NP, NPSPACE
+	* DTIME(f) ⊆ NTIME(f) ⊆ DSPACE(f) ⊆ NSPACE(f) ⊆ DTIME(2^O(f))
+	* důsledek: P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ NPSPACE ⊆ DTIME(2^poly(n))
+	* důsledek: DSPACE(log n) ⊆ NSPACE(log n) ⊆ P
+	* věty o hierarchii
+
+1.	Fine-grained složitost (1.5 přednášky)
+	* hypotéza o ortogonálních vektorech (OVH)
+	* hypotézy o exponenciálním čase (ETH a SETH)
+	* fine-grained převoditelnost
+	* OVH implikuje dolní odhad pro simulaci NFA
+	* ETH implikuje dolní odhad pro dominující množínu
+	* SETH implikuje OVH
+
+*(celkem 11 přednášek)*