TEACHING past1 += cvic10

jk_web/teaching_25_past1/__init__.py

@@ -103,6 +103,7 @@ with web.Module("teaching_25_past1") as module:
                 b<<lesson(7, "3. 4.", "Nediskrétní náhodné veličiny")
                 b<<lesson(8, "10. 4.", "Spojité náhodné veličiny")
                 b<<lesson(9, "17. 4.", "Spojité náhodné vektory")
+                b<<lesson(10, "23. 4.", "Spojitý rozbor případů a konvoluce, nerovnosti.")
 
 
         return base_page(b.root)

jk_web/teaching_25_past1/cvic10.tex

+\documentclass{article}
+\usepackage{cvika}
+\begin{document}
+
+\Nadpis{\bf 10. cvičení z PSt --- 24.4.2024} 
+
+\nadpis{Ještě nezávislé vektory}
+
+\pr (Buffonova jehla) 
+Na nekonečnou podlahu hodíme náhodně jehlu délky~$\ell$. Podlaha je z prken, jejichž okraje tvoří rovnoběžné přímky 
+ve vzdálenosti $d \ge \ell$. Určete pravděpodobnost, že jehla bude přesahovat okraj některého prkna.  
+%2\ell/(\pi d)
+
+\nadpis{Celková pravděpodobnost} 
+
+\pr Pro n.n.v. $X \sim U(0,2)$ a $Y \sim U(0,1)$ zkoumáme $\P(X < Y)$. Řešte několika způsoby: 
+
+\cast Přímo z obrázku. 
+
+\cast Rozborem možností n.v. $Y$ pomocí vzorce (analogie věty o celkové pravděpodobnosti)
+$$
+   \P(X < Y) = \int_0^1 f_Y(y) \P( X<Y | Y=y) dy. 
+$$
+
+\cast Rozborem možností n.v. $X$ pomocí vzorce 
+$$
+   \P(X < Y) = \int_0^2 f_X(x) \P( X<Y | X=x) dx. 
+$$
+
+
+\nadpis{Konvoluce} 
+
+\pr 
+Buďte $X, Y, Z \sim U(0,1)$ nezávislé náhodné veličiny. 
+
+\cast Jaké je rozdělení $X+Y$? Určete hustotu (dvěma způsoby) -- podle konvolučního vzorce i \uv{podle obrázku}. 
+\cast Jaké je rozdělení $X+Y+Z$? Pro jednoduchost určete hustotní funkci jen na intervalu $[0,1]$. 
+\cast Jak výsledek ověřit samplováním? %(Proveďte rychlý experiment, např. v Rku, nebo jen popište, co byste dělali.) 
+
+
+\nadpis{Aplikace nerovností} % a Centrální Limitní Věty} 
+
+\pr
+Házíme kostkou, za 1 a 2 dostaneme bod. 
+Označme $X$ počet bodů, které dostaneme po $n$ (nezávislých) hodech. 
+Odhadněte pravděpodobnost, že $X \ge n/2$. 
+
+\cast Pomocí Markovovy nerovnosti. 
+  % (n/3)/(n/2) = 2/3
+\cast Pomocí Čebyševovy nerovnosti. 
+  % Bin(n,1/3) -- var = n*2/9 -- P \le (2/9)n/(n/6)^2 = 8/n
+\cast Pro konkrétní $n$, jak lze tuto hodnotu určitě přesně? 
+% Pro srovnání pro $n=100$ je skutečná P = 1-F_X(49) , kde X \sim Bin(100,1/3), 
+% což je < 0.4 %%
+
+%% X_i \sim Ber(pi/4) -- var(4*\Xbar_n) = pi/4*(1-pi/4)/n = 16*0.168/n = 2.7/n
+%% var(Y_i) = (1-1/3) - (pi/4) 
+%% var(4*\ybar_n) = 16*(2/3-pi/4)/n = 0.8/n
+
+\pr
+Statistik chce odhadnout průměrnou výšku~$h$ (v metrech) lidí v nějaké populaci, pomocí 
+$n$ nezávislých vzorků $X_1$, \dots, $X_n$, které vybíráme uniformně náhodně se všech 
+možných lidí. Pro odhad použije výběrový průměr $\Xbar_n = (X_1 + \dots + X_n)/n$. 
+Odhaduje, že směrodatná odchylka jednoho výběru je nejvýše 1 metr. 
+%(Protože odchylka každého člověka od průměru je 
+
+\cast Jak velké $n$ má volit, aby směrodatná odchylka $\Xbar_n$ byla nejvýše 1 cm? 
+\cast Pro jaké $n$ zajistí Čebyševova nerovnost, že $\Xbar_n$ se liší od $h$ 
+nejvýše o 5 cm s~pravděpodobností alespoň 99 \%?  (Neboli $\P( {|\Xbar_n-h|} \le 5 ) \ge 0.99$.) 
+\cast Statistik si všimne, že všichni měření lidé mají výšku v intervalu $(1.4, 2.1)$. 
+Jak má upravit odhad směrodatné odchylky? Jak se změní odpovědi na předchozí otázky?
+
+\nadpis{Soupis vzorečků}
+
+\begin{itemize}
+\iffalse
+  \item Vztah sdružené hustoty a sdružené distribuční funkce
+    \begin{align*}
+      F_{X,Y}(x,y) &= \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(s,t) dt ds  \\
+      f_{X,Y}(x,y) &= \frac{\partial^2 F_{X,Y}(x,y)}{\partial x \partial y} 
+    \end{align*}
+  \item Marginální hustota ze sdružené 
+    \vspace{-1cm}
+    \begin{align*}
+      f_X(x) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dy  \\
+      f_Y(y) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dx
+    \end{align*}
+  \item Nezávislost $X$, $Y$ $\iff$ $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$ $\iff$ $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
+  \item $\E(X) = \int_{-\infty}^\infty x\cdot f_{X}(x) dx$
+\fi
+  \item \textbf{Konvoluce:} Nechť $X$, $Y$ jsou spojité n.n.v. Pak $S = X+Y$ má hustotu $f_S(s) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x) f_Y(s-x) dx$. 
+%  \item Podmíněná hustota: pro n.v. $X,Y$: $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$, pokud $f_Y(y)>0$, jinak nedefinujeme.
+  \item \textbf{Markovova nerovnost:} $\P(X \ge a \E(X) ) \le \frac{1}{a}$ pro $X \ge 0$. 
+  \item \textbf{Čebyševova nerovnost:} $\P({|X-\E(X)|} \ge t \sigma_X ) \le \frac{1}{t^2}$.
+\end{itemize}
+
+\nadpis{Nápověda} 
+1: Nakreslete obrázek a popište polohu jehly pomocí dvou náhodných proměnných (posun a úhel). 
+   Lze řešit jako úlohu na obsah, nebo pomocí sdružené hustoty. 
+
+3: Použijte vzorec na konci první stránky. 
+
+4: Jaké je rozdělení $X$? Pamatujete si vzoreček na jeho střední hodnotu a rozptyl? 
+
+5: Jak se zjistí rozptyl součtu nezávislých náhodných veličin? Rozptyl násobku veličiny konstantou? 
+
+
+\nadpis{K procvičení} 
+
+\pr 
+Buďte $X, Y, Z \sim Exp(\lambda)$ nezávislé náhodně veličiny. 
+
+\castusporna Jaké je rozdělení $X+Y$? 
+\castusporna Jaké je rozdělení $X+Y+Z$? 
+
+\pr 
+Počítání obsahu kruhu náhodným samplováním. 
+Vygenerujeme náhodný bod ve čtverci (obě souřadnice budou mít rozdělení $U(0,1)$). 
+Označíme $X_i$ indikátor jevu \uv{$i$-tý bod leží ve vepsaném kruhu}.  
+
+\cast Určete $\E(X_i)$, $\var(X_i)$.
+\cast Položte $\Xbar_n = (X_1 + \dots + X_n)/n$. Určete $\E(\Xbar_n)$ a $\var(S_n)$. 
+%\cast Všimněte si, že lze počítat $S_n$ z $S_{n-1}$, $X_n$ a $n$ (nižší nároky na paměť). 
+\cast Pro jaké $n$ čekáte, že dostaneme výsledek správně na jedno desetinné místo? Na dvě, tři, \dots? 
+\cast Jiný výpočet obsahu kruhu: $Y_i = \sqrt{1-U_i^2}$, kde $U_i \sim U(0,1)$. 
+  Uvědomte si, že $\E(Y_i)$ je obsah čtvrtkruhu, tedy $\pi/4$. 
+  Jaké je $\var(Y_i)$? Jaké je $\var(\Ybar_n)$?
+\cast Která metoda je přesnější? 
+
+\pr 
+Víme, že průměrný počet bodů z písemky byl 40 (ze 100). 
+Odhadněte odsud podíl studentů s alespoň 80 body. 
+Vylepšete odhad, pokud víte, že směrodatná odchylka 
+počtu bodů je~10. 
+
+
+\pr 
+Metrový klacek rozlomíme na tři kusy jedním z níže popsaných způsobů. Pro každý z nich spočítejte, 
+jaká je pravděpodobnost, že ze získaných tří kusů jde sestavit trojúhelník. 
+(Nápověda: napřed si rozmyslete, kdy jsou tři kladná čísla se součtem jedna stranami nějakého trojúhelníku.) 
+
+\cast Vybereme uniformně náhodně dva body zlomu. 
+\cast Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s kusem klacku v pravé ruce. 
+\cast Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s větším kusem klacku. 
+
+
+
+\pr 
+Volme uniformně náhodně bod z trojúhelníku s vrcholy v bodech $[0,0]$, $[0,1]$ a $[1,0]$, 
+tj. pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu. 
+Označme $X$, $Y$ souřadnice zvoleného bodu. 
+
+\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$. 
+\cast Najděte marginální hustotu $f_Y$. 
+\cast Najděte podmíněnou hustotu $f_{X|Y}$. 
+\cast Spočtěte $\E(X | Y=y)$ a podle věty o rozboru možností spočtěte $\E(X)$ (pomocí $\E(Y)$). 
+\cast Spočtěte $\E(X)$ pomocí předchozí části a symetrie. 
+
+
+\pr
+Označme $S = \sum_{k=0}^{30} \binom{100}{k}$. 
+Označme dále $X = \sum_{i=1}^{100} X_i$, kde 
+$X_i$ je $\pm 1$ s pravděpodobností $1/2$ a veličiny $X_1$, \dots, $X_n$ jsou nezávislé. 
+
+\cast Vyjádřete $S$ pomocí pravděpodobnosti $\P(X \le x)$ pro vhodné $x$. 
+\cast Použijte CLV na odhad této pravděpodobnosti. 
+\cast Případně vyčíslete $S$ vhodným softwarem a srovnejte. 
+
+\nadpis{Centrální limitní věta}
+Nechť $X_1$, \dots, $X_n$ jsou stejně rozdělené n.n.v. se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $\sigma^2$. 
+  Označme $Y_n = ((X_1 + \dots + X_n)-n\mu)/(\sqrt n \cdot \sigma)$. 
+  Pak $Y_n \xrightarrow{d} N(0,1)$. Neboli
+$$
+    \lim_{n \to \infty} F_{Y_n}(x) = \Phi(x) \quad \mbox{pro každé~$x \in \RR$}. 
+$$
+\pr 
+Odhadněte $\binom{100}{30}$ pomocí CLV. 
+Nápověda: použijte CLV pro odhad $\P(29.5 < X < 30.5)$ pro vhodnou n.v. $X$.
+Na druhou stranu pro $\P(X = 30)$ máme vzorec $\binom{100}{30}/2^{100}$ z~binomického rozdělení. 
+Pokud máte po ruce vhodný stroj, vyčíslete. 
+
+
+
+%TODO: podmíněná hustota, $\Exp({\E(X|Y)}) = \E(X)$, atd. 
+
+%ukázka, proč je vzorec na podmíněnou hustotu takový? 
+
+%rozdělení součtu -- třeba dvě $N(0,1)$? Nebo dvě exp? Dvě uniformní? (Nejlehčí!) 
+
+
+%\nadpis{Bonusy} 
+
+% computer crash CLV vs. Poisson
+
+\end{document}
+
+
+
+\pr 
+Volme uniformně náhodně bod z polokruhu o poloměru 1, se středem v počátku a v horní polorovině. 
+(Uniformně znamená, že pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu.)
+Označme $X$, $Y$ souřadnice zvoleného bodu. 
+
+\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$. 
+\cast Najděte marginální hustotu $f_Y$ a spočtěte pomocí ní $\E(Y)$. 
+\cast Pro kontrolu spočtěte $\E(Y)$ přímo (pomocí PNS). 
+
+
+\pr
+Nechť $X$ je n.v. s hustotou 
+$$
+f_X(x) = \begin{cases}
+  x/4 & \mbox{pro $1 < x \le 3$} \\
+  0 & \mbox{jinak.} 
+\end{cases}
+$$
+Označme $A$ jev $\{X \ge 2\}$. 
+
+\cast Spočtěte $\E(X)$, $\P(A)$, $f_{X|A}$ a $\E(X|A)$. 
+
+\cast Označme $Y = X^2$. Spočtěte $\E(Y)$ a $\var(Y)$. 
+
+
+
+\bigskip
+%\begin{table}[]
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
+  \hline
+  $x$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ \\
+  \hline
+  $\Phi(x)$ & $0.00003$ &$0.00135$ & $0.02275$ & $0.15866$ & $ 0.500000$ & $0.84135$ & $0.97725$ & $0.99865$ & $0.99997$ \\
+  \hline
+\end{tabular}
+%\end{table}
+\bigskip
+
+Další hodnoty viz \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table} -- sekce Cumulative. 
+Případně kalkulačka na \url{https://www.probabilitycourse.com/calculator/phi.php} nebo Wolfram Alpha. 
+