Skip to content
GitLab
Explore
Sign in
Primary navigation
Search or go to…
Project
J
jk-web
Manage
Activity
Members
Labels
Plan
Issues
Issue boards
Milestones
Wiki
Code
Merge requests
Repository
Branches
Commits
Tags
Repository graph
Compare revisions
Snippets
Deploy
Releases
Package registry
Model registry
Operate
Terraform modules
Monitor
Incidents
Analyze
Value stream analytics
Contributor analytics
Repository analytics
Model experiments
Help
Help
Support
GitLab documentation
Compare GitLab plans
GitLab community forum
Contribute to GitLab
Provide feedback
Keyboard shortcuts
?
Snippets
Groups
Projects
Show more breadcrumbs
Jiří Kalvoda
jk-web
Commits
cbe21770
Commit
cbe21770
authored
2 months ago
by
Jiří Kalvoda
Browse files
Options
Downloads
Patches
Plain Diff
TEACHING past1 += cvic9
parent
72cb8641
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Changes
2
Show whitespace changes
Inline
Side-by-side
Showing
2 changed files
jk_web/teaching_25_past1/__init__.py
+2
-1
2 additions, 1 deletion
jk_web/teaching_25_past1/__init__.py
jk_web/teaching_25_past1/cvic9.tex
+252
-0
252 additions, 0 deletions
jk_web/teaching_25_past1/cvic9.tex
with
254 additions
and
1 deletion
jk_web/teaching_25_past1/__init__.py
+
2
−
1
View file @
cbe21770
...
...
@@ -101,7 +101,8 @@ with web.Module("teaching_25_past1") as module:
b
<<
lesson
(
5
,
"
13. 3.
"
,
"
Střední hodnota d. n. v.
"
,
pdf
=
'
pdf
'
)
b
<<
lesson
(
6
,
"
27. 3.
"
,
"
Náhodné veličiny a vektory
"
)
b
<<
lesson
(
7
,
"
3. 4.
"
,
"
Nediskrétní náhodné veličiny
"
)
b
<<
lesson
(
8
,
"
10. 4.
"
,
"
Nediskrétní náhodné veličiny
"
)
b
<<
lesson
(
8
,
"
10. 4.
"
,
"
Spojité náhodné veličiny
"
)
b
<<
lesson
(
9
,
"
17. 4.
"
,
"
Spojité náhodné vektory
"
)
return
base_page
(
b
.
root
)
...
...
This diff is collapsed.
Click to expand it.
jk_web/teaching_25_past1/cvic9.tex
0 → 100644
+
252
−
0
View file @
cbe21770
\documentclass
{
article
}
\usepackage
{
cvika
}
\begin{document}
\Nadpis
{
\bf
9. cvičení z PSt --- 17.4.2025
}
\nnadpis
{
Distribuční funkce a nezávislost
}
\pr
Nechť
$
X
_
i
\sim
Exp
(
\lambda
_
i
)
$
pro
$
i
=
1
,
\dots
, n
$
jsou nezávislé náhodné veličiny.
Označme
$
M
=
\min
(
X
_
1
,
\dots
, X
_
n
)
$
. Ukažte, že
$
M
\sim
Exp
(
\lambda
_
1
+
\dots
+
\lambda
_
n
)
$
.
\pr
Buď
$
Y
$
maximum z~
$
n
$
uniformně náhodných čísel z intervalu
$
[
0
,
1
]
$
.
\cast
Najděte distribuční funkci
$
F
_
Y
$
.
\cast
Odsud určete hustotu
$
f
_
Y
$
.
\cast
Spočtěte
$
\E
(
Y
)
$
.
\cast
Jak je to pro minimum těch čísel?
\cast*
A co pro
$
k
$
-té nejmenší číslo?
\nadpis
{
Sdružená hustota
}
\pr
Nechť
$
X
$
,
$
Y
$
mají sdruženou hustotu
$
f
_{
X,Y
}
(
x,y
)
=
e
^{
-
x
-
y
}$
pro
$
x,y >
0
$
(a 0 jinak).
\cast
Určete marginální hustoty
$
f
_
X
$
,
$
f
_
Y
$
.
\cast
Určete také distribuční funkce
$
F
_
X
$
,
$
F
_
Y
$
,
$
F
_{
X,Y
}$
.
\cast
Jsou
$
X
$
,
$
Y
$
nezávislé?
\cast
Najděte
$
\P
(
X
+
Y
\le
1
)
$
a
$
\P
(
X > Y
)
$
.
\pr
(Buffonova jehla)
Na nekonečnou podlahu hodíme náhodně jehlu délky~
$
\ell
$
. Podlaha je z prken, jejichž okraje tvoří rovnoběžné přímky
ve vzdálenosti
$
d
\ge
\ell
$
. Určete pravděpodobnost, že jehla bude přesahovat okraj některého prkna.
%2\ell/(\pi d)
\nadpis
{
Celková pravděpodobnost
}
\pr
Pro n.n.v.
$
X
\sim
U
(
0
,
2
)
$
a
$
Y
\sim
U
(
0
,
1
)
$
zkoumáme
$
\P
(
X < Y
)
$
. Řešte
\cast
Přímo z obrázku.
\cast
Rozborem možností n.v.
$
Y
$
pomocí vzorce (analogie věty o celkové pravděpodobnosti)
$$
\P
(
X < Y
)
=
\int
_
0
^
1
f
_
Y
(
y
)
\P
(
X<Y | Y
=
y
)
dy.
$$
\cast
Rozborem možností n.v.
$
X
$
pomocí vzorce
$$
\P
(
X < Y
)
=
\int
_
0
^
2
f
_
X
(
x
)
\P
(
X<Y | X
=
x
)
dx.
$$
\nadpis
{
Konvoluce
}
\pr
Buďte
$
X, Y, Z
\sim
U
(
0
,
1
)
$
nezávislé náhodné veličiny.
\cast
Jaké je rozdělení
$
X
+
Y
$
? Určete hustotu (dvěma způsoby) -- podle konvolučního vzorce i
\uv
{
podle obrázku
}
.
\cast
Jaké je rozdělení
$
X
+
Y
+
Z
$
? Pro jednoduchost určete hustotní funkci jen na intervalu
$
[
0
,
1
]
$
.
\cast
Jak výsledek ověřit samplováním?
%(Proveďte rychlý experiment, např. v Rku, nebo jen popište, co byste dělali.)
\pr
Buďte
$
X, Y, Z
\sim
Exp
(
\lambda
)
$
nezávislé náhodně veličiny.
\castusporna
Jaké je rozdělení
$
X
+
Y
$
?
\castusporna
Jaké je rozdělení
$
X
+
Y
+
Z
$
?
\nadpis
{
Nápověda
}
1: Vyjádřete
$
P
(
M > m
)
$
pomocí
$
P
(
X
_
i > m
)
$
pro
$
i
=
1
,
\dots
, n
$
.
2: a) Jaká je distribuční funkce~
$
Y
$
pomocí distribučních fcí těch uniformně náhodných čísel?
b)
$
f
=
F'
$
3d: Jedna část je lehká. Pro druhou nakreslete, přes jakou množinu se má integrovat.
Pak případně vyjádřete jako dvojný integrál se správně zapsanými mezemi.
Pokud zvlédnete to, zbytek je lehký.
4: Nakreslete obrázek a popište polohu jehly pomocí dvou náhodných proměnných (posun a úhel).
6, 7: Použijte vzorec na konci další stránky.
%5a: Napište vzorec distribuční funkce $U(a,b)$ a odsud určete kvantilovou funkci.
%5b: Hustota Cauchyho rozdělení je $c/(1+x^2)$. Jaké musí být $c$, aby to byla hustota?
%Jaká je distribuční funkce, jaká je kvantilová funkce?
%5b: Nehledejte explicitní vzorec, jen formulku pomocí $\Phi$.
%5c: Nakreslete si napřed, jak vypadá distribuční funkce, pak jak vypadá kvantilová funkce.
%11: (a) hustota je konstatní v tom polokruhu, nulová jinde. (b) Integrace podle $x$. (c) Máte dvě možná pořadí integrování.
%Jedno vede na stejný výpočet jako v části (b).
%\nadpis{Bonusy}
\nadpis
{
K procvičení
}
\pr
Volme uniformně náhodně bod z polokruhu o poloměru 1, se středem v počátku a v horní polorovině.
(Uniformně znamená, že pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu.)
Označme
$
X
$
,
$
Y
$
souřadnice zvoleného bodu.
\cast
Najděte sdruženou hustotu
$
f
_{
X,Y
}$
.
\cast
Najděte marginální hustotu
$
f
_
Y
$
a spočtěte pomocí ní
$
\E
(
Y
)
$
.
\cast
Pro kontrolu spočtěte
$
\E
(
Y
)
$
přímo (pomocí pravidla PNS).
\pr
Metrový klacek rozlomíme na dva kusy -- lomem v uniformně náhodném bodě.
Buď
$
D
$
délka delší části.
\castusporna
Jaké je rozdělení~
$
D
$
?
\castusporna
Určete
$
\E
(
D
)
$
.
\nadpis
{
Bonus
}
\pr
Metrový klacek zlomíme v uniformně náhodném bodě a ponecháme si levý kus. Jeho délku označíme~
$
Y
$
.
V něm opět vybereme uniformně náhodný bod, kde klacek zlomíme, a délku levého kusu označíme
$
X
$
.
\cast
Najděte sdruženou hustotu
$
f
_{
X,Y
}$
. Může vám pomoci tzv.~podmíněná hustota
$
f
_{
X|Y
}
=
f
_{
X,Y
}
/
f
_
Y
$
.
\cast
Najděte marginální hustotu
$
f
_
X
$
.
\cast
Pomocí
$
f
_
X
$
spočtěte
$
\E
(
X
)
$
.
\cast
Spočtěte
$
\E
(
X
)
$
pomocí vztahu
$
X
=
Y
\cdot
(
X
/
Y
)
$
.
\nadpis
{
Soupis vzorečků
}
\begin{itemize}
\item
Vztah sdružené hustoty a sdružené distribuční funkce
\begin{align*}
F
_{
X,Y
}
(x,y)
&
=
\int
_{
-
\infty
}^
x
\int
_{
-
\infty
}^
y f
_{
X,Y
}
(s,t) dt ds
\\
f
_{
X,Y
}
(x,y)
&
=
\frac
{
\partial
^
2 F
_{
X,Y
}
(x,y)
}{
\partial
x
\partial
y
}
\end{align*}
\item
Marginální hustota ze sdružené
\vspace
{
-5mm
}
\begin{align*}
f
_
X(x)
&
=
\int
_{
-
\infty
}^
\infty
f
_{
X,Y
}
(x,y) dy
\\
f
_
Y(y)
&
=
\int
_{
-
\infty
}^
\infty
f
_{
X,Y
}
(x,y) dx
\end{align*}
% \item Dvojné integrály jde prohazovat (Fubiniho věta) $\int_X\! \int_Y f(x,y) dy dx = \int_Y\! \int_X f(x,y) dx dy$.
% Potřeba je, aby se nejednalo o \uv{integrály typu $\infty-\infty$}, neboli $\int_X\int_Y |f(x,y)|$ musí být konečný
\item
pro
\uv
{
rozumnou
}
množinu~
$
A
$
platí
$
\P
((
X,Y
)
\in
A
)
=
\int
_
A f
_{
X,Y
}
(
x,y
)
dx dy
$
.
\item
\textbf
{
nezávislost:
}
$
X
\perp
Y
$
$
\iff
$
$
F
_{
X,Y
}
(
x,y
)
=
F
_
X
(
x
)
F
_
Y
(
y
)
$
$
\iff
$
$
f
_{
X,Y
}
(
x,y
)
=
f
_
X
(
x
)
f
_
Y
(
y
)
$
% \item $f_{X,Y}(x,y) = f_Y(y) f_{X|Y}(x|y)$
% \item $f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X|Y}(x|y) f_Y(y) dy$
% \item $\E(X|B) = \int_{-\infty}^\infty x\cdot f_{X|B}(x) dx$
\item
\textbf
{
PNS:
}
$
\E
(
g
(
X
)
|B
)
=
\int
_{
-
\infty
}^
\infty
g
(
x
)
f
_{
X|B
}
(
x
)
dx
$
\item
\textbf
{
Konvoluční vzorec:
}
Pro spojité nezávislé n.v.
$
X
$
,
$
Y
$
má veličina
$
Z
=
X
+
Y
$
hustotu
$$
f
_
Z
(
z
)
=
\int
_{
-
\infty
}^
\infty
f
_
X
(
x
)
f
_
Y
(
z
-
x
)
dx.
$$
\end{itemize}
\end{document}
\pr
Nechť
$
X
$
je n.v. s hustotou
$$
f
_
X
(
x
)
=
\begin
{
cases
}
x
/
4
&
\mbox
{
pro $
1
< x
\le
3
$
}
\\
0
&
\mbox
{
jinak.
}
\end
{
cases
}
$$
Označme
$
A
$
jev
$
\{
X
\ge
2
\}
$
.
\cast
Spočtěte
$
\E
(
X
)
$
,
$
\P
(
A
)
$
,
$
f
_{
X|A
}$
a
$
\E
(
X|A
)
$
.
\cast
Označme
$
Y
=
X
^
2
$
. Spočtěte
$
\E
(
Y
)
$
a
$
\var
(
Y
)
$
.
% computer crash CLV vs. Poisson
\nadpis
{
Samplování
}
\pr
Nechť
$
X
_
1
$
,
\dots
,
$
X
_
n
$
jsou nezávislé náhodné veličiny a mají všechny stejné rozdělení
se střední hodnotou~
$
\mu
$
a rozptylem~
$
\sigma
^
2
$
.
Označme
$
S
_
n
=
(
X
_
1
+
\dots
+
X
_
n
)/
n
$
.
\cast
Určete
$
\E
(
S
_
n
)
$
a
$
\var
(
S
_
n
)
$
.
\cast
Ukažte, jak lze počítat
$
S
_
n
$
z
$
S
_{
n
-
1
}$
,
$
X
_
n
$
a
$
n
$
.
%\cast Sestavte program v libovolném jazyce a ověřte pomocí něj hodnotu $\mu$ některého rozdělení,
% o kterém jsme si říkali.
\cast
Použijte vhodné
$
X
_
i
$
, aby
$
\mu
$
obsahovalo číslo
$
\pi
$
.
Sestavte program v libovolném jazyce a spočítejte pomocí něj hodnotu
$
\pi
$
.
(Jak velké
$
n
$
myslíte, že bude potřeba pro pět správných číslic?)
%použijte větu o linearitě střední hodnoty a o rozptylu součtu n.n.v.
\nadpis
{
Podmíněná hustota
}
\pr
Nechť
$
X
$
,
$
Y
$
mají sdruženou hustotu
$$
f
(
x,y
)
=
\begin
{
cases
}
e
^{
-
y
}
&
\mbox
{
pro $
0
< x < y <
\infty
$
}
\\
0
&
\mbox
{
jinak.
}
\end
{
cases
}
$$
\cast
Určete podmíněnou hustotu
$
f
_{
X|Y
}$
.
\cast
Určete podmíněnou hustotu
$
f
_{
Y|X
}$
.
\pr
Metrový klacek rozlomíme na tři kusy jedním z níže popsaných způsobů. Pro každý z nich spočítejte,
jaká je pravděpodobnost, že ze získaných tří kusů jde sestavit trojúhelník.
(Nápověda: napřed si rozmyslete, kdy jsou tři kladná čísla se součtem jedna stranami nějakého trojúhelníku.)
\cast
Vybereme uniformně náhodně dva body zlomu.
\cast
Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s kusem klacku v pravé ruce.
\cast
Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s větším kusem klacku.
\pr
Volme uniformně náhodně bod z trojúhelníku s vrcholy v bodech
$
[
0
,
0
]
$
,
$
[
0
,
1
]
$
a
$
[
1
,
0
]
$
,
tj. pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu.
Označme
$
X
$
,
$
Y
$
souřadnice zvoleného bodu.
\cast
Najděte sdruženou hustotu
$
f
_{
X,Y
}$
.
\cast
Najděte marginální hustotu
$
f
_
Y
$
.
\cast
Najděte podmíněnou hustotu
$
f
_{
X|Y
}$
.
\cast
Spočtěte
$
\E
(
X | Y
=
y
)
$
a podle věty o rozboru možností spočtěte
$
\E
(
X
)
$
(pomocí
$
\E
(
Y
)
$
).
\cast
Spočtěte
$
\E
(
X
)
$
pomocí předchozí části a symetrie.
\nadpis
{
Generování náhodných veličin
}
\pr
Vzpomeňte si na větu z přednášky. Nechť
$
U
\sim
U
(
0
,
1
)
$
.
Jak vyrobíte náhodnou veličinu
\cast
s rozdělením
$
U
(
a,b
)
$
?
%\cast s Cauchyho rozdělením? (připomeňte si, že $\int 1/(1+x^2) = \arctg x + C$)
%\cast s exponenciálním rozdělením? bylo na přednášce
\cast
s rozdělením
$
N
(
0
,
1
)
$
? (Využijte funkce
$
\Phi
$
jako ``black box''.)
\cast
s uniformním rozdělením na množině
$
\{
1
,
2
,
\dots
,
6
\}
$
?
This diff is collapsed.
Click to expand it.
Preview
0%
Loading
Try again
or
attach a new file
.
Cancel
You are about to add
0
people
to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Save comment
Cancel
Please
register
or
sign in
to comment