Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit cbe21770 authored by Jiří Kalvoda's avatar Jiří Kalvoda
Browse files

TEACHING past1 += cvic9

parent 72cb8641
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
......@@ -101,7 +101,8 @@ with web.Module("teaching_25_past1") as module:
b<<lesson(5, "13. 3.", "Střední hodnota d. n. v.", pdf='pdf')
b<<lesson(6, "27. 3.", "Náhodné veličiny a vektory")
b<<lesson(7, "3. 4.", "Nediskrétní náhodné veličiny")
b<<lesson(8, "10. 4.", "Nediskrétní náhodné veličiny")
b<<lesson(8, "10. 4.", "Spojité náhodné veličiny")
b<<lesson(9, "17. 4.", "Spojité náhodné vektory")
return base_page(b.root)
......
\documentclass{article}
\usepackage{cvika}
\begin{document}
\Nadpis{\bf 9. cvičení z PSt --- 17.4.2025}
\nnadpis{Distribuční funkce a nezávislost}
\pr
Nechť $X_i \sim Exp(\lambda_i)$ pro $i=1, \dots, n$ jsou nezávislé náhodné veličiny.
Označme $M = \min(X_1, \dots, X_n)$. Ukažte, že
$M \sim Exp(\lambda_1 + \dots + \lambda_n)$.
\pr
Buď $Y$ maximum z~$n$ uniformně náhodných čísel z intervalu $[0,1]$.
\cast Najděte distribuční funkci $F_Y$.
\cast Odsud určete hustotu $f_Y$.
\cast Spočtěte $\E(Y)$.
\cast Jak je to pro minimum těch čísel?
\cast* A co pro $k$-té nejmenší číslo?
\nadpis{Sdružená hustota}
\pr
Nechť $X$, $Y$ mají sdruženou hustotu $f_{X,Y}(x,y) = e^{-x-y}$ pro $x,y > 0$ (a 0 jinak).
\cast Určete marginální hustoty $f_X$, $f_Y$.
\cast Určete také distribuční funkce $F_X$, $F_Y$, $F_{X,Y}$.
\cast Jsou $X$, $Y$ nezávislé?
\cast Najděte $\P(X+Y \le 1)$ a $\P(X > Y)$.
\pr (Buffonova jehla)
Na nekonečnou podlahu hodíme náhodně jehlu délky~$\ell$. Podlaha je z prken, jejichž okraje tvoří rovnoběžné přímky
ve vzdálenosti $d \ge \ell$. Určete pravděpodobnost, že jehla bude přesahovat okraj některého prkna.
%2\ell/(\pi d)
\nadpis{Celková pravděpodobnost}
\pr Pro n.n.v. $X \sim U(0,2)$ a $Y \sim U(0,1)$ zkoumáme $\P(X < Y)$. Řešte
\cast Přímo z obrázku.
\cast Rozborem možností n.v. $Y$ pomocí vzorce (analogie věty o celkové pravděpodobnosti)
$$
\P(X < Y) = \int_0^1 f_Y(y) \P( X<Y | Y=y) dy.
$$
\cast Rozborem možností n.v. $X$ pomocí vzorce
$$
\P(X < Y) = \int_0^2 f_X(x) \P( X<Y | X=x) dx.
$$
\nadpis{Konvoluce}
\pr
Buďte $X, Y, Z \sim U(0,1)$ nezávislé náhodné veličiny.
\cast Jaké je rozdělení $X+Y$? Určete hustotu (dvěma způsoby) -- podle konvolučního vzorce i \uv{podle obrázku}.
\cast Jaké je rozdělení $X+Y+Z$? Pro jednoduchost určete hustotní funkci jen na intervalu $[0,1]$.
\cast Jak výsledek ověřit samplováním? %(Proveďte rychlý experiment, např. v Rku, nebo jen popište, co byste dělali.)
\pr
Buďte $X, Y, Z \sim Exp(\lambda)$ nezávislé náhodně veličiny.
\castusporna Jaké je rozdělení $X+Y$?
\castusporna Jaké je rozdělení $X+Y+Z$?
\nadpis{Nápověda}
1: Vyjádřete $P(M > m)$ pomocí $P(X_i > m)$ pro $i=1, \dots, n$.
2: a) Jaká je distribuční funkce~$Y$ pomocí distribučních fcí těch uniformně náhodných čísel?
b) $f = F'$
3d: Jedna část je lehká. Pro druhou nakreslete, přes jakou množinu se má integrovat.
Pak případně vyjádřete jako dvojný integrál se správně zapsanými mezemi.
Pokud zvlédnete to, zbytek je lehký.
4: Nakreslete obrázek a popište polohu jehly pomocí dvou náhodných proměnných (posun a úhel).
6, 7: Použijte vzorec na konci další stránky.
%5a: Napište vzorec distribuční funkce $U(a,b)$ a odsud určete kvantilovou funkci.
%5b: Hustota Cauchyho rozdělení je $c/(1+x^2)$. Jaké musí být $c$, aby to byla hustota?
%Jaká je distribuční funkce, jaká je kvantilová funkce?
%5b: Nehledejte explicitní vzorec, jen formulku pomocí $\Phi$.
%5c: Nakreslete si napřed, jak vypadá distribuční funkce, pak jak vypadá kvantilová funkce.
%11: (a) hustota je konstatní v tom polokruhu, nulová jinde. (b) Integrace podle $x$. (c) Máte dvě možná pořadí integrování.
%Jedno vede na stejný výpočet jako v části (b).
%\nadpis{Bonusy}
\nadpis{K procvičení}
\pr
Volme uniformně náhodně bod z polokruhu o poloměru 1, se středem v počátku a v horní polorovině.
(Uniformně znamená, že pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu.)
Označme $X$, $Y$ souřadnice zvoleného bodu.
\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$.
\cast Najděte marginální hustotu $f_Y$ a spočtěte pomocí ní $\E(Y)$.
\cast Pro kontrolu spočtěte $\E(Y)$ přímo (pomocí pravidla PNS).
\pr
Metrový klacek rozlomíme na dva kusy -- lomem v uniformně náhodném bodě.
Buď $D$ délka delší části.
\castusporna Jaké je rozdělení~$D$?
\castusporna Určete $\E(D)$.
\nadpis{Bonus}
\pr
Metrový klacek zlomíme v uniformně náhodném bodě a ponecháme si levý kus. Jeho délku označíme~$Y$.
V něm opět vybereme uniformně náhodný bod, kde klacek zlomíme, a délku levého kusu označíme $X$.
\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$. Může vám pomoci tzv.~podmíněná hustota $f_{X|Y} = f_{X,Y}/f_Y$.
\cast Najděte marginální hustotu $f_X$.
\cast Pomocí $f_X$ spočtěte $\E(X)$.
\cast Spočtěte $\E(X)$ pomocí vztahu $X = Y \cdot (X/Y)$.
\nadpis{Soupis vzorečků}
\begin{itemize}
\item Vztah sdružené hustoty a sdružené distribuční funkce
\begin{align*}
F_{X,Y}(x,y) &= \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(s,t) dt ds \\
f_{X,Y}(x,y) &= \frac{\partial^2 F_{X,Y}(x,y)}{\partial x \partial y}
\end{align*}
\item Marginální hustota ze sdružené
\vspace{-5mm}
\begin{align*}
f_X(x) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dy \\
f_Y(y) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dx
\end{align*}
% \item Dvojné integrály jde prohazovat (Fubiniho věta) $\int_X\! \int_Y f(x,y) dy dx = \int_Y\! \int_X f(x,y) dx dy$.
% Potřeba je, aby se nejednalo o \uv{integrály typu $\infty-\infty$}, neboli $\int_X\int_Y |f(x,y)|$ musí být konečný
\item pro \uv{rozumnou} množinu~$A$ platí $\P((X,Y) \in A) = \int_A f_{X,Y}(x,y) dx dy$.
\item \textbf{nezávislost:} $X \perp Y$ $\iff$ $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$ $\iff$ $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
% \item $f_{X,Y}(x,y) = f_Y(y) f_{X|Y}(x|y)$
% \item $f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X|Y}(x|y) f_Y(y) dy$
% \item $\E(X|B) = \int_{-\infty}^\infty x\cdot f_{X|B}(x) dx$
\item \textbf{PNS:} $\E(g(X)|B) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_{X|B}(x) dx$
\item \textbf{Konvoluční vzorec:} Pro spojité nezávislé n.v. $X$, $Y$ má veličina $Z = X+Y$ hustotu
$$
f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x) f_Y(z-x) dx.
$$
\end{itemize}
\end{document}
\pr
Nechť $X$ je n.v. s hustotou
$$
f_X(x) = \begin{cases}
x/4 & \mbox{pro $1 < x \le 3$} \\
0 & \mbox{jinak.}
\end{cases}
$$
Označme $A$ jev $\{X \ge 2\}$.
\cast Spočtěte $\E(X)$, $\P(A)$, $f_{X|A}$ a $\E(X|A)$.
\cast Označme $Y = X^2$. Spočtěte $\E(Y)$ a $\var(Y)$.
% computer crash CLV vs. Poisson
\nadpis{Samplování}
\pr
Nechť $X_1$, \dots, $X_n$ jsou nezávislé náhodné veličiny a mají všechny stejné rozdělení
se střední hodnotou~$\mu$ a rozptylem~$\sigma^2$.
Označme $S_n = (X_1 + \dots + X_n)/n$.
\cast Určete $\E(S_n)$ a $\var(S_n)$.
\cast Ukažte, jak lze počítat $S_n$ z $S_{n-1}$, $X_n$ a $n$.
%\cast Sestavte program v libovolném jazyce a ověřte pomocí něj hodnotu $\mu$ některého rozdělení,
% o kterém jsme si říkali.
\cast Použijte vhodné $X_i$, aby $\mu$ obsahovalo číslo $\pi$.
Sestavte program v libovolném jazyce a spočítejte pomocí něj hodnotu $\pi$.
(Jak velké $n$ myslíte, že bude potřeba pro pět správných číslic?)
%použijte větu o linearitě střední hodnoty a o rozptylu součtu n.n.v.
\nadpis{Podmíněná hustota}
\pr
Nechť $X$, $Y$ mají sdruženou hustotu
$$
f(x,y) = \begin{cases}
e^{-y} & \mbox{pro $0 < x < y < \infty$} \\
0 & \mbox{jinak.}
\end{cases}
$$
\cast Určete podmíněnou hustotu $f_{X|Y}$.
\cast Určete podmíněnou hustotu $f_{Y|X}$.
\pr
Metrový klacek rozlomíme na tři kusy jedním z níže popsaných způsobů. Pro každý z nich spočítejte,
jaká je pravděpodobnost, že ze získaných tří kusů jde sestavit trojúhelník.
(Nápověda: napřed si rozmyslete, kdy jsou tři kladná čísla se součtem jedna stranami nějakého trojúhelníku.)
\cast Vybereme uniformně náhodně dva body zlomu.
\cast Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s kusem klacku v pravé ruce.
\cast Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s větším kusem klacku.
\pr
Volme uniformně náhodně bod z trojúhelníku s vrcholy v bodech $[0,0]$, $[0,1]$ a $[1,0]$,
tj. pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu.
Označme $X$, $Y$ souřadnice zvoleného bodu.
\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$.
\cast Najděte marginální hustotu $f_Y$.
\cast Najděte podmíněnou hustotu $f_{X|Y}$.
\cast Spočtěte $\E(X | Y=y)$ a podle věty o rozboru možností spočtěte $\E(X)$ (pomocí $\E(Y)$).
\cast Spočtěte $\E(X)$ pomocí předchozí části a symetrie.
\nadpis{Generování náhodných veličin}
\pr
Vzpomeňte si na větu z přednášky. Nechť $U \sim U(0,1)$.
Jak vyrobíte náhodnou veličinu
\cast s rozdělením $U(a,b)$?
%\cast s Cauchyho rozdělením? (připomeňte si, že $\int 1/(1+x^2) = \arctg x + C$)
%\cast s exponenciálním rozdělením? bylo na přednášce
\cast s rozdělením $N(0,1)$? (Využijte funkce $\Phi$ jako ``black box''.)
\cast s uniformním rozdělením na množině $\{1, 2, \dots, 6\}$?
0% Loading or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment