TEACHING past1 += cvic9

jk_web/teaching_25_past1/__init__.py

@@ -101,7 +101,8 @@ with web.Module("teaching_25_past1") as module:
                 b<<lesson(5, "13. 3.", "Střední hodnota d. n. v.", pdf='pdf')
                 b<<lesson(6, "27. 3.", "Náhodné veličiny a vektory")
                 b<<lesson(7, "3. 4.", "Nediskrétní náhodné veličiny")
-                b<<lesson(8, "10. 4.", "Nediskrétní náhodné veličiny")
+                b<<lesson(8, "10. 4.", "Spojité náhodné veličiny")
+                b<<lesson(9, "17. 4.", "Spojité náhodné vektory")
 
 
         return base_page(b.root)

jk_web/teaching_25_past1/cvic9.tex

+\documentclass{article}
+\usepackage{cvika}
+\begin{document}
+
+\Nadpis{\bf 9. cvičení z PSt --- 17.4.2025}
+
+\nnadpis{Distribuční funkce a nezávislost} 
+
+\pr
+Nechť $X_i \sim Exp(\lambda_i)$ pro $i=1, \dots, n$ jsou nezávislé náhodné veličiny. 
+Označme $M = \min(X_1, \dots, X_n)$. Ukažte, že 
+$M \sim Exp(\lambda_1 + \dots + \lambda_n)$. 
+
+
+\pr
+Buď $Y$ maximum z~$n$ uniformně náhodných čísel z intervalu $[0,1]$. 
+
+\cast Najděte distribuční funkci $F_Y$. 
+\cast Odsud určete hustotu $f_Y$. 
+\cast Spočtěte $\E(Y)$. 
+\cast Jak je to pro minimum těch čísel? 
+\cast* A co pro $k$-té nejmenší číslo? 
+
+\nadpis{Sdružená hustota} 
+
+\pr 
+Nechť $X$, $Y$ mají sdruženou hustotu $f_{X,Y}(x,y) = e^{-x-y}$ pro $x,y > 0$ (a 0 jinak). 
+
+\cast Určete marginální hustoty $f_X$, $f_Y$. 
+\cast Určete také distribuční funkce $F_X$, $F_Y$, $F_{X,Y}$. 
+\cast Jsou $X$, $Y$ nezávislé? 
+\cast Najděte $\P(X+Y \le 1)$ a $\P(X > Y)$. 
+
+\pr (Buffonova jehla) 
+Na nekonečnou podlahu hodíme náhodně jehlu délky~$\ell$. Podlaha je z prken, jejichž okraje tvoří rovnoběžné přímky 
+ve vzdálenosti $d \ge \ell$. Určete pravděpodobnost, že jehla bude přesahovat okraj některého prkna.  
+%2\ell/(\pi d)
+
+\nadpis{Celková pravděpodobnost} 
+
+\pr Pro n.n.v. $X \sim U(0,2)$ a $Y \sim U(0,1)$ zkoumáme $\P(X < Y)$. Řešte
+
+\cast Přímo z obrázku. 
+
+\cast Rozborem možností n.v. $Y$ pomocí vzorce (analogie věty o celkové pravděpodobnosti)
+$$
+   \P(X < Y) = \int_0^1 f_Y(y) \P( X<Y | Y=y) dy. 
+$$
+
+\cast Rozborem možností n.v. $X$ pomocí vzorce 
+$$
+   \P(X < Y) = \int_0^2 f_X(x) \P( X<Y | X=x) dx. 
+$$
+
+
+\nadpis{Konvoluce} 
+
+\pr 
+Buďte $X, Y, Z \sim U(0,1)$ nezávislé náhodné veličiny. 
+
+\cast Jaké je rozdělení $X+Y$? Určete hustotu (dvěma způsoby) -- podle konvolučního vzorce i \uv{podle obrázku}. 
+\cast Jaké je rozdělení $X+Y+Z$? Pro jednoduchost určete hustotní funkci jen na intervalu $[0,1]$. 
+\cast Jak výsledek ověřit samplováním? %(Proveďte rychlý experiment, např. v Rku, nebo jen popište, co byste dělali.) 
+
+\pr 
+Buďte $X, Y, Z \sim Exp(\lambda)$ nezávislé náhodně veličiny. 
+
+\castusporna Jaké je rozdělení $X+Y$? 
+\castusporna Jaké je rozdělení $X+Y+Z$? 
+
+
+\nadpis{Nápověda} 
+1: Vyjádřete $P(M > m)$ pomocí $P(X_i > m)$ pro $i=1, \dots, n$. 
+
+2: a) Jaká je distribuční funkce~$Y$ pomocí distribučních fcí těch uniformně náhodných čísel? 
+b) $f = F'$
+
+3d: Jedna část je lehká. Pro druhou nakreslete, přes jakou množinu se má integrovat. 
+Pak případně vyjádřete jako dvojný integrál se správně zapsanými mezemi. 
+Pokud zvlédnete to, zbytek je lehký.
+
+4: Nakreslete obrázek a popište polohu jehly pomocí dvou náhodných proměnných (posun a úhel). 
+
+6, 7: Použijte vzorec na konci další stránky. 
+
+
+%5a: Napište vzorec distribuční funkce $U(a,b)$ a odsud určete kvantilovou funkci. 
+
+%5b: Hustota Cauchyho rozdělení je $c/(1+x^2)$. Jaké musí být $c$, aby to byla hustota? 
+%Jaká je distribuční funkce, jaká je kvantilová funkce? 
+
+%5b: Nehledejte explicitní vzorec, jen formulku pomocí $\Phi$. 
+
+%5c: Nakreslete si napřed, jak vypadá distribuční funkce, pak jak vypadá kvantilová funkce. 
+
+%11: (a) hustota je konstatní v tom polokruhu, nulová jinde. (b) Integrace podle $x$. (c) Máte dvě možná pořadí integrování. 
+%Jedno vede na stejný výpočet jako v části (b). 
+
+
+%\nadpis{Bonusy} 
+
+\nadpis{K procvičení} 
+
+\pr 
+Volme uniformně náhodně bod z polokruhu o poloměru 1, se středem v počátku a v horní polorovině. 
+(Uniformně znamená, že pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu.)
+Označme $X$, $Y$ souřadnice zvoleného bodu. 
+
+\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$. 
+\cast Najděte marginální hustotu $f_Y$ a spočtěte pomocí ní $\E(Y)$. 
+\cast Pro kontrolu spočtěte $\E(Y)$ přímo (pomocí pravidla PNS). 
+
+\pr 
+Metrový klacek rozlomíme na dva kusy -- lomem v uniformně náhodném bodě. 
+Buď $D$ délka delší části. 
+
+\castusporna Jaké je rozdělení~$D$? 
+\castusporna Určete $\E(D)$. 
+
+
+\nadpis{Bonus} 
+
+\pr
+Metrový klacek zlomíme v uniformně náhodném bodě a ponecháme si levý kus. Jeho délku označíme~$Y$.
+V něm opět vybereme uniformně náhodný bod, kde klacek zlomíme, a délku levého kusu označíme $X$. 
+ 
+\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$. Může vám pomoci tzv.~podmíněná hustota $f_{X|Y} = f_{X,Y}/f_Y$. 
+\cast Najděte marginální hustotu $f_X$. 
+\cast Pomocí $f_X$ spočtěte $\E(X)$. 
+\cast Spočtěte $\E(X)$ pomocí vztahu $X = Y \cdot (X/Y)$. 
+
+
+
+
+\nadpis{Soupis vzorečků}
+
+\begin{itemize}
+  \item Vztah sdružené hustoty a sdružené distribuční funkce
+    \begin{align*}
+      F_{X,Y}(x,y) &= \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(s,t) dt ds  \\
+      f_{X,Y}(x,y) &= \frac{\partial^2 F_{X,Y}(x,y)}{\partial x \partial y} 
+    \end{align*}
+  \item Marginální hustota ze sdružené 
+    \vspace{-5mm}
+    \begin{align*}
+      f_X(x) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dy  \\
+      f_Y(y) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dx
+    \end{align*}
+%  \item Dvojné integrály jde prohazovat (Fubiniho věta) $\int_X\! \int_Y f(x,y) dy dx = \int_Y\! \int_X f(x,y) dx dy$. 
+%    Potřeba je, aby se nejednalo o \uv{integrály typu $\infty-\infty$}, neboli $\int_X\int_Y |f(x,y)|$ musí být konečný
+  \item pro \uv{rozumnou} množinu~$A$ platí $\P((X,Y) \in A) = \int_A f_{X,Y}(x,y) dx dy$.
+  \item \textbf{nezávislost:} $X \perp Y$ $\iff$ $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$ $\iff$ $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
+%  \item $f_{X,Y}(x,y) = f_Y(y) f_{X|Y}(x|y)$
+%  \item $f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X|Y}(x|y) f_Y(y) dy$
+%  \item $\E(X|B) = \int_{-\infty}^\infty x\cdot f_{X|B}(x) dx$
+  \item \textbf{PNS:} $\E(g(X)|B) = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_{X|B}(x) dx$
+  \item \textbf{Konvoluční vzorec:} Pro spojité nezávislé n.v. $X$, $Y$ má veličina $Z = X+Y$ hustotu 
+    $$
+      f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x) f_Y(z-x) dx. 
+    $$ 
+\end{itemize}
+
+
+
+
+\end{document}
+
+\pr
+Nechť $X$ je n.v. s hustotou 
+$$
+f_X(x) = \begin{cases}
+  x/4 & \mbox{pro $1 < x \le 3$} \\
+  0 & \mbox{jinak.} 
+\end{cases}
+$$
+Označme $A$ jev $\{X \ge 2\}$. 
+
+\cast Spočtěte $\E(X)$, $\P(A)$, $f_{X|A}$ a $\E(X|A)$. 
+
+\cast Označme $Y = X^2$. Spočtěte $\E(Y)$ a $\var(Y)$. 
+
+
+% computer crash CLV vs. Poisson
+
+\nadpis{Samplování} 
+\pr
+Nechť $X_1$, \dots, $X_n$ jsou nezávislé náhodné veličiny a mají všechny stejné rozdělení 
+se střední hodnotou~$\mu$ a rozptylem~$\sigma^2$. 
+Označme $S_n = (X_1 + \dots + X_n)/n$. 
+
+\cast Určete $\E(S_n)$ a $\var(S_n)$. 
+\cast Ukažte, jak lze počítat $S_n$ z $S_{n-1}$, $X_n$ a $n$. 
+%\cast Sestavte program v libovolném jazyce a ověřte pomocí něj hodnotu $\mu$ některého rozdělení, 
+%      o kterém jsme si říkali. 
+\cast Použijte vhodné $X_i$, aby $\mu$ obsahovalo číslo $\pi$. 
+  Sestavte program v libovolném jazyce a spočítejte pomocí něj hodnotu $\pi$. 
+  (Jak velké $n$ myslíte, že bude potřeba pro pět správných číslic?)
+
+%použijte větu o linearitě střední hodnoty a o rozptylu součtu n.n.v.
+
+\nadpis{Podmíněná hustota} 
+
+\pr 
+Nechť $X$, $Y$ mají sdruženou hustotu
+$$
+f(x,y) = \begin{cases}
+  e^{-y} & \mbox{pro $0 < x < y < \infty$} \\
+  0 & \mbox{jinak.} 
+\end{cases}
+$$
+
+\cast Určete podmíněnou hustotu $f_{X|Y}$. 
+\cast Určete podmíněnou hustotu $f_{Y|X}$. 
+
+
+\pr 
+Metrový klacek rozlomíme na tři kusy jedním z níže popsaných způsobů. Pro každý z nich spočítejte, 
+jaká je pravděpodobnost, že ze získaných tří kusů jde sestavit trojúhelník. 
+(Nápověda: napřed si rozmyslete, kdy jsou tři kladná čísla se součtem jedna stranami nějakého trojúhelníku.) 
+
+\cast Vybereme uniformně náhodně dva body zlomu. 
+\cast Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s kusem klacku v pravé ruce. 
+\cast Vybereme uniformně náhodně první bod zlomu. Pak totéž uděláme s větším kusem klacku. 
+
+
+
+\pr 
+Volme uniformně náhodně bod z trojúhelníku s vrcholy v bodech $[0,0]$, $[0,1]$ a $[1,0]$, 
+tj. pravděpodobnost každé podmnožiny je úměrná jejímu obsahu. 
+Označme $X$, $Y$ souřadnice zvoleného bodu. 
+
+\cast Najděte sdruženou hustotu $f_{X,Y}$. 
+\cast Najděte marginální hustotu $f_Y$. 
+\cast Najděte podmíněnou hustotu $f_{X|Y}$. 
+\cast Spočtěte $\E(X | Y=y)$ a podle věty o rozboru možností spočtěte $\E(X)$ (pomocí $\E(Y)$). 
+\cast Spočtěte $\E(X)$ pomocí předchozí části a symetrie. 
+
+
+
+\nadpis{Generování náhodných veličin}
+
+\pr
+Vzpomeňte si na větu z přednášky. Nechť $U \sim U(0,1)$. 
+Jak vyrobíte náhodnou veličinu
+
+\cast s rozdělením $U(a,b)$?
+%\cast s Cauchyho rozdělením?  (připomeňte si, že $\int 1/(1+x^2) = \arctg x + C$)
+%\cast s exponenciálním rozdělením? bylo na přednášce
+\cast s rozdělením $N(0,1)$? (Využijte funkce $\Phi$ jako ``black box''.) 
+\cast s uniformním rozdělením na množině $\{1, 2, \dots, 6\}$? 
+
+