From aae1e671c761ed97f5627c1c35a3e6148bdf213a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jiri Kalvoda <jirikalvoda@kam.mff.cuni.cz> Date: Sat, 4 Jan 2025 11:11:43 +0100 Subject: [PATCH] KG1: 12. cv --- jk_web/teaching_24_kg1/12.md | 75 ++++++++++++++++++++++++++++++ jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py | 2 +- 2 files changed, 76 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 jk_web/teaching_24_kg1/12.md diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/12.md b/jk_web/teaching_24_kg1/12.md new file mode 100644 index 0000000..74d1b2a --- /dev/null +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/12.md @@ -0,0 +1,75 @@ +--- +title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 12" +lang: "cs" +--- + +[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module} + +\def\sectioneject{} + +[]{c=head} + +Ušaté lemma +=========== + +::: {c=from_lesson} +Připomeňme, že graf G je (vrcholově) 2-souvislý, právě když ho lze vyrobit z kružnice pomocí operací přidávání +ucha. +::: + +a) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy + $x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ obsahující $z$. +b) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy + $x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ neobsahující $z$. + +Počítání dvěma způsoby +====================== + +a) Na vysoké škole si každý student zapsal aspoň $10\%$ ze všech nabízených předmětů. Dokažte, že existuje + předmět, na němž je zapsáno aspoň $10\%$ všech studentů. +b) Z přednášky víme, že na vrcholech $\{1, 2, \dots , n\}$ existuje $n^{n-2}$ stromů. Kolik z nich obsahuje hranu $\{1, 2\}$? +c) Na turnaji v trojkovém mariáši (což je hra pro tři hráče) bylo $32$ účastníků, $12$ z nich sehrálo pět partií, $20$ + z nich sehrálo šest partií. Kolik tam bylo sehráno partií? +d) Na jiném turnaji v trojkovém mariáši bylo $15$ účastníků a každá dvojice účastníků se tam právě dvakrát + sešla u společné partie. Kolik tam bylo sehráno partií? Plyne ze zadání, že každý hráč sehrál stejný počet + partií? Pokud ano, kolik partií sehrál každý hráč? +e) Turistický oddíl má $100$ členů. Pro své členy oddíl zorganizoval celkem $10$ výletů. Na každém výletě bylo + nejvýše $30$ členů oddílu. Dokažte, že existují dva členové oddílu, kteří spolu nikdy nebyli na společném + výletě. +f) Nechť $M$ je matice tvaru $10\times 10$ obsahující čísla $1, 2, \dots , 10$, přičemž každé číslo se v ní vyskytuje $10$-krát. + Dokažte, že $M$ má řádek nebo sloupec obsahující aspoň 4 různá čísla. Jak zobecnit tento závěr na matice + tvaru $n\times n$, v nichž se každé z čísel $1, 2, \dots , n$ vyskytuje právě $n$-krát? + +\vfill\eject + +Nekonečné vs. libovolně velké +============================= + +a) Ukažte, že existuje **nekonečný** graf $G$, který pro každé $k\in \N$ obsahuje cestu délky $k$, ale neobsahuje nekonečně dlouhou cestu. +b) Ukažte, že existuje posloupnost $a$ reálných čísel taková, že pro každé $k\in\N$ v ní existuje rostoucí podposloupnost (ne nutně souvislá) délky $k$, ale neexistuje v ní nekonečná rostoucí podposloupnost. + +Ramseyovské problémy +==================== + + +::: {c=from_lesson} +Ramseyova věta (grafová): +$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall G$ -- graf na $N$ vrcholech: $G$ obsahuje kliku na $k$ nebo nezávislou množinu na $l$ vrcholech. + +Ramseyova věta (dvojbarevná): +$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ vrcholech. +::: + +Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá ($K_N$ značí úplný graf na množině vrcholů $\{0,1,\dots, N-1\}$): + +a) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude +existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, který obsahuje vrchol číslo 0. +b) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude +existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, jehož každý vrchol je mocnina dvojky. +c) Trojbarevná verze: $\forall k,l,m \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře/zeleně: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ nebo zelený na $m$ vrcholech. +d) Vícebarevná: $\forall c, k \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení $c$ barvami hran grafu $K_N$: $G$ obsahuje jednobarevný indukovaný podgraf na $k$ vrcholech. + + + + + diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py index 0d4ff0b..9f72a74 100644 --- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py @@ -83,7 +83,7 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module: b<<lesson(9, "26. 11.", b._bucket("Hallova věta a souvislost grafů.")) b<<lesson(10, "3. 12.", b._bucket("Vrcholová souvisloust a ušaté lemma + ", b._locallink(test).b("Test"))) b<<lesson(11, "10. 12.", b._bucket("Ušaté lemma a počítání dvěma způsoby.")) - b<<lesson(12, "17. 12.", b._bucket(), pdf=False) + b<<lesson(12, "17. 12.", b._bucket("Počítání dvěma způsoby a Ramseyova věta.")) b<<lesson(13, "7. 1.", b._bucket(), pdf=False) -- GitLab