From aae1e671c761ed97f5627c1c35a3e6148bdf213a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jiri Kalvoda <jirikalvoda@kam.mff.cuni.cz>
Date: Sat, 4 Jan 2025 11:11:43 +0100
Subject: [PATCH] KG1: 12. cv

---
 jk_web/teaching_24_kg1/12.md       | 75 ++++++++++++++++++++++++++++++
 jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py |  2 +-
 2 files changed, 76 insertions(+), 1 deletion(-)
 create mode 100644 jk_web/teaching_24_kg1/12.md

diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/12.md b/jk_web/teaching_24_kg1/12.md
new file mode 100644
index 0000000..74d1b2a
--- /dev/null
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/12.md
@@ -0,0 +1,75 @@
+---
+title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 12"
+lang: "cs"
+---
+
+[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
+
+\def\sectioneject{}
+
+[]{c=head}
+
+Ušaté lemma
+===========
+
+::: {c=from_lesson}
+Připomeňme, že graf G je (vrcholově) 2-souvislý, právě když ho lze vyrobit z kružnice pomocí operací přidávání
+ucha.
+:::
+
+a) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy
+   $x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ obsahující $z$.
+b) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy
+   $x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ neobsahující $z$.
+
+Počítání dvěma způsoby
+======================
+
+a) Na vysoké škole si každý student zapsal aspoň $10\%$ ze všech nabízených předmětů. Dokažte, že existuje
+   předmět, na němž je zapsáno aspoň $10\%$ všech studentů.
+b) Z přednášky víme, že na vrcholech $\{1, 2, \dots , n\}$ existuje $n^{n-2}$ stromů. Kolik z nich obsahuje hranu $\{1, 2\}$?
+c) Na turnaji v trojkovém mariáši (což je hra pro tři hráče) bylo $32$ účastníků, $12$ z nich sehrálo pět partií, $20$
+   z nich sehrálo šest partií. Kolik tam bylo sehráno partií?
+d) Na jiném turnaji v trojkovém mariáši bylo $15$ účastníků a každá dvojice účastníků se tam právě dvakrát
+   sešla u společné partie. Kolik tam bylo sehráno partií? Plyne ze zadání, že každý hráč sehrál stejný počet
+   partií? Pokud ano, kolik partií sehrál každý hráč?
+e) Turistický oddíl má $100$ členů. Pro své členy oddíl zorganizoval celkem $10$ výletů. Na každém výletě bylo
+   nejvýše $30$ členů oddílu. Dokažte, že existují dva členové oddílu, kteří spolu nikdy nebyli na společném
+   výletě.
+f) Nechť $M$ je matice tvaru $10\times 10$ obsahující čísla $1, 2, \dots , 10$, přičemž každé číslo se v ní vyskytuje $10$-krát.
+   Dokažte, že $M$ má řádek nebo sloupec obsahující aspoň 4 různá čísla. Jak zobecnit tento závěr na matice
+   tvaru $n\times n$, v nichž se každé z čísel $1, 2, \dots , n$ vyskytuje právě $n$-krát?
+
+\vfill\eject
+
+Nekonečné vs. libovolně velké
+=============================
+
+a) Ukažte, že existuje **nekonečný** graf $G$, který pro každé $k\in \N$ obsahuje cestu délky $k$, ale neobsahuje nekonečně dlouhou cestu.
+b) Ukažte, že existuje posloupnost $a$ reálných čísel taková, že pro každé $k\in\N$ v ní existuje rostoucí podposloupnost (ne nutně souvislá) délky $k$, ale neexistuje v ní nekonečná rostoucí podposloupnost.
+
+Ramseyovské problémy
+====================
+
+
+::: {c=from_lesson}
+Ramseyova věta (grafová):
+$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall G$ -- graf na $N$ vrcholech: $G$ obsahuje kliku na $k$ nebo nezávislou množinu na $l$ vrcholech.
+
+Ramseyova věta (dvojbarevná):
+$\forall k,l \in \N$: $\exists N\in \N$: $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ vrcholech.
+:::
+
+Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá ($K_N$ značí úplný graf na množině vrcholů $\{0,1,\dots, N-1\}$):
+
+a) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
+existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, který obsahuje vrchol číslo 0.
+b) Pro každé dostatečně velké $N \in \N$ platí, že když hrany $K_N$ obarvíme dvěma barvami, pak vždy bude
+existovat jednobarevný úplný podgraf na deseti vrcholech, jehož každý vrchol je mocnina dvojky.
+c) Trojbarevná verze: $\forall k,l,m \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení hran $K_N$ červeně/modře/zeleně: $G$ obsahuje červený indukovaný podgraf na $k$ nebo modý na $l$ nebo zelený na $m$ vrcholech.
+d) Vícebarevná: $\forall c, k \in \N: \exists N\in \N:$ $\forall$ obarvení $c$ barvami hran grafu $K_N$: $G$ obsahuje jednobarevný indukovaný podgraf na $k$ vrcholech.
+
+
+
+
+
diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
index 0d4ff0b..9f72a74 100644
--- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
@@ -83,7 +83,7 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module:
                     b<<lesson(9, "26. 11.", b._bucket("Hallova věta a souvislost grafů."))
                     b<<lesson(10, "3. 12.", b._bucket("Vrcholová souvisloust a ušaté lemma + ", b._locallink(test).b("Test")))
                     b<<lesson(11, "10. 12.", b._bucket("Ušaté lemma a počítání dvěma způsoby."))
-                    b<<lesson(12, "17. 12.", b._bucket(), pdf=False)
+                    b<<lesson(12, "17. 12.", b._bucket("Počítání dvěma způsoby a Ramseyova věta."))
                     b<<lesson(13, "7. 1.", b._bucket(), pdf=False)
 
 
-- 
GitLab