TEACHING past1 += cvic3

jk_web/teaching_25_past1/cvic3.tex

+\documentclass{article}
+\usepackage{cvika}
+\newcommand\calF{{\cal F}}
+
+\begin{document}
+
+\Nadpis{\bf 3. cvičení z PSt --- 6. 3. 2024}
+
+\nadpis{Nezávislé jevy}
+
+Buď $I$ libovolná množina indexů. 
+Jevy $\{A_i : i \in I\}$ nazveme \emph{nezávislé (independent)}, pokud pro každou konečnou množinu $J \subseteq I$
+  $$
+    \P( \bigcap_{j \in J} A_j) = \prod_{j \in J} \P(A_j). 
+  $$
+Pokud podmínka platí jen pro dvouprvkové množiny~$J$, nazýváme jevy $\{A_i : i \in I\}$ \emph{po dvou nezávislé (pairwise independent)}. 
+
+\pr Dva hody mincí modelujeme uniformním prostorem $\Omega = \{PP,PO,OP,OO\}$. 
+  Ověřte, že jev $A_1$ \uv{první hod byla panna} a $A_2$ \uv{druhý hod byla panna} 
+  jsou nezávislé podle definice výše. 
+
+%\pr (pokračování) Tentokrát máme zadané $\P(A_1) = p_1$, $\P(A_2) = p_2$,
+%  a chceme, aby $A_1$ a $A_2$ byly nezávislé. Ověřte, že 
+%  tím je určena pravděpodobnost každého jevu. 
+
+\pr (pokračování) Máme opět pravděpodobnostní prostor se čtyřmi elementárními
+    jevy $\{PP,PO,OP,OO\}$, ale tentokrát není uniformní. Jako v předchozím
+    příkladu, jev $A_1$ je \uv{první písmeno je $P$} a jev $A_2$ je \uv{druhé
+    písmeno je $P$}. Předpokládáme, že $\P(A_1) = p_1$, $\P(A_2) = p_2$ a že jevy
+    $A_1$ a $A_2$ jsou nezávislé. Ověřte, že tím je určena pravděpodobnost každého
+    jevu v tomto pravděpodobnostním prostoru. 
+
+%\pr Rozmyslete si, co podmínka nezávislosti říká pro jednoprvkové množiny $J$. 
+
+\pr %teorie, rutina
+Pokud jsou jevy $A$, $B$ nezávislé, tak jsou nezávislé i jevy $A$, $B^c$. 
+A také jevy $A^c$, $B^c$. 
+(Připomenutí: $A^c = \Omega \setminus A$.) 
+
+\pr 
+\cast Mohou být jevy $A$, $B$ nezávislé a zároveň disjunktní? 
+\cast Mohou být jevy $A$, $B$ nezávislé a zároveň $A \subseteq B$?
+
+\pr Najděte jevy $A$, $B$, $C$ (na libovolném pravděpodobnostním prostoru), které 
+
+\cast jsou nezávislé. 
+\cast nejsou po dvou nezávislé, ale $\P(A\cap B \cap C) = \P(A) \P(B) \P(C)$. 
+\cast jsou po dvou nezávislé, ale $\P(A\cap B \cap C) \ne \P(A) \P(B) \P(C)$. 
+
+\pr* Najdete náhodné jevy $A$, $B$, $C$ takové, že 
+\begin{itemize}
+\item 
+  $A$, $B$ jsou nezávislé za podmínky $C$, tj. 
+  $$
+     \P(A \cap B | C) = \P(A|C) \P(B|C), 
+  $$
+\item 
+  $A$, $B$ jsou nezávislé za podmínky $C^c$, 
+\item 
+  ale $A$, $B$ nejsou nezávislé? 
+\end{itemize}
+
+\iffalse
+\nadpis{Diskrétní náhodné veličiny} 
+
+Mějme pravděpodobnostní prostor $(\Omega, \calF, \Prob)$. Funkci $X: \Omega \to \RR$ nazveme 
+\emph{diskrétní náhodná veličina (discrete random variable)}, pokud 
+$Im(X)$ (obor hodnot~$X$) je spočetná množina a pokud pro všechna reálná~$x$ platí 
+$$
+    \{ \omega \in \Omega : X(\omega) = x \} \in \calF. 
+$$
+
+\pr Ověřte, že indikátorová náhodná veličina splňuje definici diskrétní náhodné veličiny. 
+
+\pr Buď $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ a $\calF = \{\emptyset, \{2,4,6\}, \{1,3,5\}, \Omega\}$. 
+Definujme 
+\cast $X(\omega) = \omega$, 
+\cast $Y(\omega) = 1$ (pro sudé $\omega$) a $Y(\omega) = 0$ (jinak), 
+
+Rozhodněte, zda $X$, resp.~$Y$, splňuje definici diskrétní náhodně veličiny. 
+\fi
+
+
+\nadpis{Úvod náhodné veličiny} 
+
+\pr Prokop hází basketbalovým míčem na koš, v každém pokusu má pravděpodobnost zásahu $p = 1/10$, pokusy jsou nezávislé. 
+Skončí po prvním zásahu. Označme $X$ celkový počet hodů. 
+
+\cast Jaká je $\P(X > k)$? (Zkuste napřed pro $k=1$, $k=2$.)
+\cast Jaká je $\P(X = k)$? (Určení těchto čísel se nazývá popis distribuce $X$.) 
+%Jaká je distribuce $X$? Tj. určete pravděpodobnostní funkci $p_X$, tj. pro každé $x$ určete $\P(X=x)$  (a vzpomeňte si na jméno tohoto rozdělení). 
+\cast Jaká je $\P(X \ge 10 | X \ge 5)$?
+%\cast Jaká je $\E(X)$? 
+
+\pr Pokračování z minulé úlohy: označme $Y = X \bmod 2$, 
+tj. $Y = 0$, pokud je $X$ sudé, jinak $Y=1$. Určete distribuci $Y$.
+
+\pr Quido také hází míčem na koš, má pravděpodobnost $p$, že se 
+  trefí a také jsou hody nezávislé. Označme $Z$ počet zásahů z~$n$~pokusů. 
+  Určete distribuci~$Z$ (tj. $P(Z=k)$ pro všechna $k$). 
+
+\pr
+Hodíme dvěma kostkami -- pro jednoduchost čtyřstěnnými, s čísly 1, \dots, 4. 
+Označíme $X$ maximum ze dvou hozených čísel. 
+Popište, jak budete tuto situaci modelovat: co bude $\Omega$, 
+co přesně za matematický objekt je~$X$, jaká je $p_X$. 
+
+\nadpis{Bonus} 
+
+\pr 
+Pokud vidíme bílého pudla, zvyšuje to naši důvěru, že je každá vrána černá? 
+
+
+\pr (Kasino v St. Petersburgu) Házíme opakovaně mincí. Pokud poprvé padla panna v $n$-tém hodu, 
+dostaneme odměnu $2^n$. Kolik byste byli ochotní zaplatit za účast v této hře? 
+
+
+
+%% prvočíselný unif. prostor? 
+\nadpis{K procvičení} 
+
+\pr
+V truhle je sto mincí. Z nich 99 je normálních, ale jedna má na obou stranách orla. 
+Vytáhneme náhodnou minci a šestkrát s ní hodíme, pokaždé padne orel. Jaká je pravděpodobnost, že 
+jsme si vytáhli \uv{dvouorlovou} minci? (Zkuste napřed odhadnout, pak spočítat.) 
+
+\pr
+Na chorobu $C$ máme dva testy, $A$ a $B$. Test $A$ má sensitivitu i specificitu 
+$p = 0.95$. Test $B$ vždy řekne, že pacient je zdravý. Předpokládejte, že $\P(C) = 0.01$. 
+
+\cast 
+Spočtěte pro oba testy pravděpodobnost úspěchu (tj. správné odpovědi), použijeme-li je na 
+náhodného pacienta. Rozmyslete si, co to říká o užitečnosti obou testů. 
+
+\cast 
+Pro jaké $p$ je pravděpodobnost úspěchu obou testů stejná? 
+
+\pr %Bayes a trik navíc
+Ve volbách hlasují lidé pro dva kandidáty, A a B (v našem modelu se nikdo nezdrží hlasování). 
+Při odchodu z volební místnosti jsou voliči náhodně požádáni o účast v exit-poll za účelem rychlého 
+odhadu výsledků. Předpokládejme, že kdo odpoví, tak odpoví popravdě koho volil, ale ne všichni se zúčastní. 
+Označme $E$ množinu voličů, kteří jsou ochotní se exit-pollu zúčastnit, $A$ a $B$ množinu voličů 
+příslušných kandidátů. 
+Z dřívějších výzkumů víme, že voliči~A jsou ochotnější se zúčastnit, předpokládejme $\P(E|A) = 0.7$ a $\P(E|B)=0.4$. 
+Výsledky exit-pollu jsou 60 \% pro~A. Jaký je skutečný podíl lidí, kteří hlasovali pro~A? 
+(Zkuste si napřed tipnout, než to spočítáte.) 
+
+
+\pr %
+Kouřovými signály přenášíme binární soubor. Je proto poměrně vysoká pravděpodobnost chyby u každého bitu: 
+0 se jako 0 přenese jen s pravděpodobností $0.9$, 1 jako 1 jen s pravděpodobností $0.8$. 
+Předpokládejme (trochu neseriózně), že jednotlivé znaky se přenáší nezávisle. 
+Dále předpokládejme, že ve vysílané zprávě je stejně nul a jedniček.
+
+\cast Pokud jsme dostali signál 0, jaká je pravděpodobnost, že byl opravdu vyslán? 
+\cast Dostali jsme zprávu 0010. Jaká je pravděpodobnost, že byla opravdu vyslána? 
+\cast Jak se výpočet změní, pokud budeme pro kontrolu vysílat každý symbol třikrát (a pak vezmeme častější z těch tří pokusů)?
+
+
+
+
+
+
+\end{document}
+
+
+