diff --git a/jk_web/teaching_25_past1/cvic3.tex b/jk_web/teaching_25_past1/cvic3.tex new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f223f3d07e66c313d7a4a9743805463c2119fe17 --- /dev/null +++ b/jk_web/teaching_25_past1/cvic3.tex @@ -0,0 +1,167 @@ +\documentclass{article} +\usepackage{cvika} +\newcommand\calF{{\cal F}} + +\begin{document} + +\Nadpis{\bf 3. cvičení z PSt --- 6. 3. 2024} + +\nadpis{Nezávislé jevy} + +Buď $I$ libovolná množina indexů. +Jevy $\{A_i : i \in I\}$ nazveme \emph{nezávislé (independent)}, pokud pro každou konečnou množinu $J \subseteq I$ + $$ + \P( \bigcap_{j \in J} A_j) = \prod_{j \in J} \P(A_j). + $$ +Pokud podmínka platí jen pro dvouprvkové množiny~$J$, nazýváme jevy $\{A_i : i \in I\}$ \emph{po dvou nezávislé (pairwise independent)}. + +\pr Dva hody mincí modelujeme uniformním prostorem $\Omega = \{PP,PO,OP,OO\}$. + Ověřte, že jev $A_1$ \uv{první hod byla panna} a $A_2$ \uv{druhý hod byla panna} + jsou nezávislé podle definice výše. + +%\pr (pokračování) Tentokrát máme zadané $\P(A_1) = p_1$, $\P(A_2) = p_2$, +% a chceme, aby $A_1$ a $A_2$ byly nezávislé. Ověřte, že +% tím je určena pravděpodobnost každého jevu. + +\pr (pokračování) Máme opět pravděpodobnostní prostor se čtyřmi elementárními + jevy $\{PP,PO,OP,OO\}$, ale tentokrát není uniformní. Jako v předchozím + příkladu, jev $A_1$ je \uv{první písmeno je $P$} a jev $A_2$ je \uv{druhé + písmeno je $P$}. Předpokládáme, že $\P(A_1) = p_1$, $\P(A_2) = p_2$ a že jevy + $A_1$ a $A_2$ jsou nezávislé. Ověřte, že tím je určena pravděpodobnost každého + jevu v tomto pravděpodobnostním prostoru. + +%\pr Rozmyslete si, co podmínka nezávislosti říká pro jednoprvkové množiny $J$. + +\pr %teorie, rutina +Pokud jsou jevy $A$, $B$ nezávislé, tak jsou nezávislé i jevy $A$, $B^c$. +A také jevy $A^c$, $B^c$. +(Připomenutí: $A^c = \Omega \setminus A$.) + +\pr +\cast Mohou být jevy $A$, $B$ nezávislé a zároveň disjunktní? +\cast Mohou být jevy $A$, $B$ nezávislé a zároveň $A \subseteq B$? + +\pr Najděte jevy $A$, $B$, $C$ (na libovolném pravděpodobnostním prostoru), které + +\cast jsou nezávislé. +\cast nejsou po dvou nezávislé, ale $\P(A\cap B \cap C) = \P(A) \P(B) \P(C)$. +\cast jsou po dvou nezávislé, ale $\P(A\cap B \cap C) \ne \P(A) \P(B) \P(C)$. + +\pr* Najdete náhodné jevy $A$, $B$, $C$ takové, že +\begin{itemize} +\item + $A$, $B$ jsou nezávislé za podmínky $C$, tj. + $$ + \P(A \cap B | C) = \P(A|C) \P(B|C), + $$ +\item + $A$, $B$ jsou nezávislé za podmínky $C^c$, +\item + ale $A$, $B$ nejsou nezávislé? +\end{itemize} + +\iffalse +\nadpis{Diskrétní náhodné veličiny} + +Mějme pravděpodobnostní prostor $(\Omega, \calF, \Prob)$. Funkci $X: \Omega \to \RR$ nazveme +\emph{diskrétní náhodná veličina (discrete random variable)}, pokud +$Im(X)$ (obor hodnot~$X$) je spočetná množina a pokud pro všechna reálná~$x$ platí +$$ + \{ \omega \in \Omega : X(\omega) = x \} \in \calF. +$$ + +\pr Ověřte, že indikátorová náhodná veličina splňuje definici diskrétní náhodné veličiny. + +\pr Buď $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ a $\calF = \{\emptyset, \{2,4,6\}, \{1,3,5\}, \Omega\}$. +Definujme +\cast $X(\omega) = \omega$, +\cast $Y(\omega) = 1$ (pro sudé $\omega$) a $Y(\omega) = 0$ (jinak), + +Rozhodněte, zda $X$, resp.~$Y$, splňuje definici diskrétní náhodně veličiny. +\fi + + +\nadpis{Úvod náhodné veličiny} + +\pr Prokop hází basketbalovým míčem na koš, v každém pokusu má pravděpodobnost zásahu $p = 1/10$, pokusy jsou nezávislé. +Skončí po prvním zásahu. Označme $X$ celkový počet hodů. + +\cast Jaká je $\P(X > k)$? (Zkuste napřed pro $k=1$, $k=2$.) +\cast Jaká je $\P(X = k)$? (Určení těchto čísel se nazývá popis distribuce $X$.) +%Jaká je distribuce $X$? Tj. určete pravděpodobnostní funkci $p_X$, tj. pro každé $x$ určete $\P(X=x)$ (a vzpomeňte si na jméno tohoto rozdělení). +\cast Jaká je $\P(X \ge 10 | X \ge 5)$? +%\cast Jaká je $\E(X)$? + +\pr Pokračování z minulé úlohy: označme $Y = X \bmod 2$, +tj. $Y = 0$, pokud je $X$ sudé, jinak $Y=1$. Určete distribuci $Y$. + +\pr Quido také hází míčem na koš, má pravděpodobnost $p$, že se + trefí a také jsou hody nezávislé. Označme $Z$ počet zásahů z~$n$~pokusů. + Určete distribuci~$Z$ (tj. $P(Z=k)$ pro všechna $k$). + +\pr +Hodíme dvěma kostkami -- pro jednoduchost čtyřstěnnými, s čísly 1, \dots, 4. +Označíme $X$ maximum ze dvou hozených čísel. +Popište, jak budete tuto situaci modelovat: co bude $\Omega$, +co přesně za matematický objekt je~$X$, jaká je $p_X$. + +\nadpis{Bonus} + +\pr +Pokud vidíme bílého pudla, zvyšuje to naši důvěru, že je každá vrána černá? + + +\pr (Kasino v St. Petersburgu) Házíme opakovaně mincí. Pokud poprvé padla panna v $n$-tém hodu, +dostaneme odměnu $2^n$. Kolik byste byli ochotní zaplatit za účast v této hře? + + + +%% prvočíselný unif. prostor? +\nadpis{K procvičení} + +\pr +V truhle je sto mincí. Z nich 99 je normálních, ale jedna má na obou stranách orla. +Vytáhneme náhodnou minci a šestkrát s ní hodíme, pokaždé padne orel. Jaká je pravděpodobnost, že +jsme si vytáhli \uv{dvouorlovou} minci? (Zkuste napřed odhadnout, pak spočítat.) + +\pr +Na chorobu $C$ máme dva testy, $A$ a $B$. Test $A$ má sensitivitu i specificitu +$p = 0.95$. Test $B$ vždy řekne, že pacient je zdravý. Předpokládejte, že $\P(C) = 0.01$. + +\cast +Spočtěte pro oba testy pravděpodobnost úspěchu (tj. správné odpovědi), použijeme-li je na +náhodného pacienta. Rozmyslete si, co to říká o užitečnosti obou testů. + +\cast +Pro jaké $p$ je pravděpodobnost úspěchu obou testů stejná? + +\pr %Bayes a trik navíc +Ve volbách hlasují lidé pro dva kandidáty, A a B (v našem modelu se nikdo nezdrží hlasování). +Při odchodu z volební místnosti jsou voliči náhodně požádáni o účast v exit-poll za účelem rychlého +odhadu výsledků. Předpokládejme, že kdo odpoví, tak odpoví popravdě koho volil, ale ne všichni se zúčastní. +Označme $E$ množinu voličů, kteří jsou ochotní se exit-pollu zúčastnit, $A$ a $B$ množinu voličů +příslušných kandidátů. +Z dřívějších výzkumů víme, že voliči~A jsou ochotnější se zúčastnit, předpokládejme $\P(E|A) = 0.7$ a $\P(E|B)=0.4$. +Výsledky exit-pollu jsou 60 \% pro~A. Jaký je skutečný podíl lidí, kteří hlasovali pro~A? +(Zkuste si napřed tipnout, než to spočítáte.) + + +\pr % +Kouřovými signály přenášíme binární soubor. Je proto poměrně vysoká pravděpodobnost chyby u každého bitu: +0 se jako 0 přenese jen s pravděpodobností $0.9$, 1 jako 1 jen s pravděpodobností $0.8$. +Předpokládejme (trochu neseriózně), že jednotlivé znaky se přenáší nezávisle. +Dále předpokládejme, že ve vysílané zprávě je stejně nul a jedniček. + +\cast Pokud jsme dostali signál 0, jaká je pravděpodobnost, že byl opravdu vyslán? +\cast Dostali jsme zprávu 0010. Jaká je pravděpodobnost, že byla opravdu vyslána? +\cast Jak se výpočet změní, pokud budeme pro kontrolu vysílat každý symbol třikrát (a pak vezmeme častější z těch tří pokusů)? + + + + + + +\end{document} + + +