From 73221a8230b70ad2546c87735672f506dc49135b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jiri Kalvoda <jirikalvoda@kam.mff.cuni.cz>
Date: Sun, 20 Oct 2024 14:55:33 +0200
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?KG1:=20T=C5=99et=C3=AD=20cvi=C4=8Den=C3=AD?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
---
jk_web/teaching_24_kg1/3.md | 64 ++++++++++++++++++++++++++++++
jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py | 3 +-
2 files changed, 66 insertions(+), 1 deletion(-)
create mode 100644 jk_web/teaching_24_kg1/3.md
diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/3.md b/jk_web/teaching_24_kg1/3.md
new file mode 100644
index 0000000..3798b11
--- /dev/null
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/3.md
@@ -0,0 +1,64 @@
+---
+title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 3 (Vytvoř. fce)"
+lang: "cs"
+---
+
+[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
+
+\def\sectioneject{}
+
+[]{c=head}
+
+Vytvořující funkce pro posloupnost $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ je mocninná řada $a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$.
+
+Postup výroby VF z rekurzivně zadané posloupnosti.
+
+- začneme s rovností $a_n x^n = (\hbox{rekurzivní výraz}) x^n$.
+- sečteme pro všechna přípustná $n$: $\sum_{n \ge n_0} a_n x^n = \sum_{n \ge n_0} (\hbox{rek. v.}) x^n$.
+- upravujeme a všechny nekonečné sumy nahradíme za $f(x)$.
+- vyřešíme rovnici, kde neznámá je $f(x)$.
+
+Zobecněné kombinační číslo ($r\in \R, k\in\N$): ${r \choose k} = {n(n-1)\cdots(n-k+1) \over k!}$
+Zobecněná binomická věta: $(1+x)^r = \sum_{k\ge 0} {r \choose k} x^k$.
+Důsledek: ${1\over (1-x)^m} = \sum_n {m+n-1 \choose m-1} x^n$.
+
+Vytvořujíci funkce posloupností
+==================
+
+Najděte vytvořující funkci následujících posloupností:
+
+a) $1, -1, 1, -1, \dots , (-1)^n , \dots$
+b) $1,2,3,4,\dots, n+1, \dots$
+c) ${p \choose p}, {p+1 \choose p}, \dots, {p+n \choose p} \dots$
+d) $1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, \dots$
+
+Kombinatoricky definované VF
+=========================
+
+Najděte vzorce v uzavřeném tvaru (tedy bez nekonečných sum) pro vytvořující funkce následujících posloupností.
+
+a) Posloupnost $(a_n)_{n=0}^\infty$, kde $a_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet tří lichých přirozených
+ čísel (na pořadí sčítanců záleží). Například $a_7 = 6$, neboť číslo 7 lze zapsat těmito součty: $1 + 1 + 5, 1 + 5 + 1,
+ 5 + 1 + 1, 1 + 3 + 3, 3 + 1 + 3, 3 + 3 + 1$.
+b) Posloupnost $(b_n)_{n=0}^\infty$, kde $b_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet libovolného počtu
+ lichých přirozených čísel (na pořadí sčítanců opět záleží). Například $b_4 = 3$, nebot’ číslo 4 lze zapsat těmito
+ součty: $1 + 3, 3 + 1, 1 + 1 + 1 + 1$.
+c) Posloupnost $(c_n)_{n=0}^\infty$ , kde $c_n$ označuje počet způsobů, jak lze číslo $n$ zapsat jako součet jedniček a dvojek (na
+ pořadí sčítanců záleží). Například $c_4 = 5$, neboť číslo 4 lze zapsat těmito součty: $1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2,
+ 1 + 2 + 1, 2 + 1 + 1, 2 + 2$.
+
+Dokazování rovností
+===================
+
+Pro posloupnosti $b_n$ a $c_n$ z předchozího příkladu platí, že pro každé $n \ge 0$ je $c_n$ rovno $b_{n+1}$ .
+
+a) Dokažte to pomocí vytvořujících funkcí.
+b) Dokažte to kombinatorickou úvahou.
+
+Rekurence
+=========
+Najděte vzorce v uzavřeném tvaru (tedy bez nekonečných sum) pro vytvořující funkce následujících posloupností.
+
+$$a_n = \left\{ \matrix{1& \hbox{pro $n=0$}\cr 3a_{n-1}-1 & \hbox{pro $n\ge 1$}} \right.$$
+
+$$b_n = \left\{ \matrix{1/2& \hbox{pro $n=0$} \cr 1-\sum_{0\le k \le n-1} b_k & \hbox{pro $n\ge 1$}} \right.$$
diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
index 2bf273d..348035c 100644
--- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
+++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py
@@ -61,7 +61,8 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module:
b.line.th("Příklady")
with b.tbody:
b(lesson(1, "1. 10.", "Kombinatorické počítání."))
- b(lesson(2, "8. 10.", b._bucket("Odhady faktoriálů a kombinačních čísel, vytvořující funkce poprvé.", b._br(), "Předvedeny příklady 1abc a 2abefgh.")))
+ b(lesson(2, "8. 10.", b._bucket("Odhady faktoriálů a kombinačních čísel, vytvořující funkce ponulté.", b._br(), "Předvedeny příklady 1abc a 2abefgh.")))
+ b(lesson(3, "15. 10.", b._bucket("Vytvořující funkce poprvé.")))
return base_page(b.root)
--
GitLab