Teorie čísel: Spell check

07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex

@@ -282,7 +282,7 @@ Pro každé $n>1$ a $x\perp p$ platí $x^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n$.
 \proof
 Uvažme množinu $H = \{x^0, x^1, x^2, \ldots\}$ (násobíme modulo~$n$).
 Jelikož~$x$ je invertibilní prvek a ty jsou uzavřené na násobení,
-je~$H$ podmnožínou~$\Zsn$. Dokážeme, že je dokonce podgrupou.
+je~$H$ podmnožinou~$\Zsn$. Dokážeme, že je dokonce podgrupou.
 
 Jelikož $x^i$ mohou nabývat jen konečně mnoha hodnot, musí se nějaká
 hodnota zopakovat. Uvažme první takové opakování, tedy nejmenší~$j$
@@ -305,7 +305,7 @@ Tím pádem je $\varphi(n) = jk$ pro nějaké~$k$, takže můžeme psát
 $x^{\varphi(n)} \equiv x^{jk} \equiv (x^j)^k \equiv 1^k \equiv 1$.
 \qed
 
-\subsection{Činská věta o~zbytcích}
+\subsection{Čínská věta o~zbytcích}
 
 Nyní se zamysleme nad tím, jak najít číslo~$x$, které dává modulo~$N_1$
 zadaný zbytek~$a_1$ a modulo~$N_2$ zbytek~$a_2$. Řešíme tedy soustavu kongruencí:
@@ -363,7 +363,7 @@ $N=N_1\cdot\ldots\cdot N_k$ a $a_i\in\Z_{N_i}$ pro $i=1,\ldots,k$.
 Pak existuje právě jedno $x\in\Z_N$ takové, že $x\bmod N_i = a_i$ pro všechna~$i$.
 }
 
-\theoremn{Algebraicka formulace CRT}{
+\theoremn{Algebraická formulace CRT}{
 Nechť $N_1,\ldots,N_k$ jsou navzájem nesoudělná kladná čísla a
 $N=N_1\cdot\ldots\cdot N_k$.
 Pak funkce $f: \Z_N \rightarrow Z_{N_1} \times \ldots \times \Z_{N_k}$
@@ -372,7 +372,7 @@ je izomorfismus okruhů $Z_N$ a $Z_{N_1} \times \ldots \times \Z_{N_k}$.
 }
 
 \proof
-Pro $k=1$ jsou obě věty triviální, pro $k=2$ jsme je už dokazali.
+Pro $k=1$ jsou obě věty triviální, pro $k=2$ jsme je už dokázali.
 Dále pokračujeme indukcí podle~$k$, přičemž případ pro $k=2$ použijeme
 jako indukční krok.
 \qed
@@ -429,14 +429,14 @@ a~tím pádem stejný počet čísel~$x$.
 \endlist
 
 Z~tohoto lemmatu plyne, že kdykoliv umíme číslo~$n$ faktorizovat (rozložit na součin
-mocnin různých prvočísel), umíme efektivně spočitat $\varphi(n)$. Žádný efektivní způsob,
+mocnin různých prvočísel), umíme efektivně spočítat $\varphi(n)$. Žádný efektivní způsob,
 který nepotřebuje faktorizaci, není znám.
 
 \section{Faktorizace versus prvočíselnost}
 
 Mezi základní algoritmické problémy teorie čísel patří \em{faktorizace} celých čísel
 (rozklad na součin prvočísel) a testování, zda dané číslo je prvočíslem. Jakkoliv podobně
-tyto problémy vypadají, jejich obtíznost je zásadně různa.
+tyto problémy vypadají, jejich obtížnost je zásadně různá.
 
 Faktorizace:
 
@@ -520,12 +520,12 @@ Je-li $n$ složené číslo, které není Carmichaelovo, Fermatův test ho usvě
 
 \proof
 Spusťme algoritmus s~daným~$n$. Pokud narazíme na Euklidova svědka, rovnou odpovíme správně.
-Stačí tedy lemma dokazat pro $a$ rovnoměrně náhodně vybrané z~$\Zsn$.
+Stačí tedy lemma dokázat pro $a$ rovnoměrně náhodně vybrané z~$\Zsn$.
 Uvažme podmnožinu $H\subseteq\Zsn$ čísel, která nejsou Fermatovými svědky. Tedy:
 $$
 	H = \{ a\in\Zsn \mid a^{n-1}\bmod n = 1 \}.
 $$
-Dokážeme, že $H$ je podgroupu~$\Zsn$. Jistě platí $1\in H$. Pokud $a,b\in H$,
+Dokážeme, že $H$ je podgrupu~$\Zsn$. Jistě platí $1\in H$. Pokud $a,b\in H$,
 máme $(ab)^{n-1} \equiv a^{n-1}b^{n-1} \equiv 1\cdot 1 \equiv 1$, takže $ab\in H$.
 Podobně ověříme, že pro $a\in H$ je $a\inv\in H$.
 
@@ -615,7 +615,7 @@ Izomorfismus v~jednom směru je funkce $e: x \mapsto g^x \bmod p$, v~druhém sm
 její inverze, které se říká \em{diskrétní logaritmus.}
 Zatímco mocniny modulo~$p$ dokážeme počítat efektivně (v~čase $\O(b^3)$),
 diskrétní logaritmus nikoliv. Podobně jako u~faktorizace neznáme žádný polynomiální
-algorimus, ale známe zajímavé subexponenciální algoritmy a polynomiální kvantový algoritmus.
+algoritmus, ale známe zajímavé subexponenciální algoritmy a polynomiální kvantový algoritmus.
 
 Často potřebujeme nějaký generátor najít. K~tomu se hodí otestovat, zda dané číslo~$g$ je generátorem.
 
@@ -697,7 +697,7 @@ počet odmocnin. 0~má jen jednu (součinem nenulových prvků není nikdy~0).
 
 Odmocniny prvku~$a$ jsou kořeny kvadratického polynomu $x^2-a$ a ty mohou
 v~libovolném tělese existovat nejvýš~2. To v~kombinaci s~předchozím odstavcem dává,
-že každy nenulový prvek má 0 nebo 2 odmocniny.
+že každý nenulový prvek má 0 nebo 2 odmocniny.
 
 Každý nenulový prvek~$\Zp$ leží v~$\Zsp$, takže ho můžeme napsat jako mocninu nějakého
 generátoru~$g$. Polovinu~$\Zsp$ tvoří sudé mocniny $g^{2k}$ a ty jistě mají druhou
@@ -718,7 +718,7 @@ dvě: 1 a~$-1$. Ovšem 1 to být nemůže, protože by se mocniny generátoru za
 opakovat dřív, než by vygenerovaly celou~$\Zsp$.
 \qed
 
-Jelikož diskrétní logaritmy je těžké počitat, bude se hodit efektivnější test
+Jelikož diskrétní logaritmy je těžké počítat, bude se hodit efektivnější test
 na kvadratické zbytky:
 
 \theoremn{Eulerovo kriterium}{
@@ -786,7 +786,7 @@ vyjde nulové, pak najdeme dvě různá~$x$.
 
 Toto lze zobecnit pro libovolné složené~$n$ a převést tak odmocňování modulo~$n$
 na odmocňování modulo prvočíselné faktory~$n$, pokud umíme $n$~faktorizovat.
-Žádný efektivní způsob počitání diskrétních odmocnin bez faktorizace~$n$ není znám.
+Žádný efektivní způsob počítání diskrétních odmocnin bez faktorizace~$n$ není znám.
 (Možnost, že $n$ může mít násobné faktory, s~dovolením nebudeme zkoumat.)
 
 \sectionstar{Rozbor Rabinova-Millerova testu}
@@ -837,7 +837,7 @@ takže řád musí být sudé číslo. Pro liché~$m$ tedy nemůže platit $a^m\
 ani $a^m\equiv_n\nobreak 1$.
 \qed
 
-Nyní se přesuneme ke~kroku~\itemref{rmmone}. Z~přechozího lemmatu víme, že pro některé volby čísla~$a$ v~algoritmu
+Nyní se přesuneme ke~kroku~\itemref{rmmone}. Z~předchozího lemmatu víme, že pro některé volby čísla~$a$ v~algoritmu
 je $b_0\not\equiv 1$. Můžeme proto zvolit~$i$ ($0\le i<t$) takové, že $b_{i+1}\equiv a^{2^{i+1}m} \equiv 1$
 pro všechna možná~$a\in\Z_n$, ale $b_i\equiv a^{2^im} \not\equiv 1$ pro alespoň jedno takové~$a$. Jakmile dokážeme,
 že $b_i\not\equiv\pm 1$ pro alespoň polovinu z~možných~$a$, máme vyhráno.
@@ -848,7 +848,7 @@ existuje alespoň $\vert\Z^*_n\vert/2$ čísel $a\in\Z^*_n$ takových, že $a^{2
 }
 
 \proof
-Ještě jednou stejný trik s~podgroupou. Tentokrát zvolíme $G = \{ x\in\Z^*_n \mid a^{2^im} \equiv \pm1 \}$,
+Ještě jednou stejný trik s~podgrupou. Tentokrát zvolíme $G = \{ x\in\Z^*_n \mid a^{2^im} \equiv \pm1 \}$,
 což je evidentně podgrupa~$\Z^*_n$, a~opět chceme dokázat, že alespoň jeden prvek leží mimo ni.
 
 Z~volby~$i$ víme, že existuje~$c$, pro něž $c^{2^im}\not\equiv 1$. Pokud $c^{2^im}\not\equiv -1$, máme vyhráno,
@@ -863,7 +863,7 @@ a $d^{2^im} \equiv_{n/p^e} 1$. Proto $d^{2^im}$ nemůže být modulo~$n$ ani~1,
 \sectionstar{Ještě jeden test prvočíselnosti}
 
 Nakonec předvedeme ještě jeden algoritmus pro pravděpodobnostní testování prvočísel,
-jehož korektost je snadné dokázat. Daní za jednoduchost důkazu ovšem bude to, že
+jehož korektnost je snadné dokázat. Daní za jednoduchost důkazu ovšem bude to, že
 náš test může udělat chybu na~obě strany: jak prohlásit složené číslo za~prvočíslo,
 tak prvočíslo za~složené. Bude fungovat následovně: