Skip to content
GitLab
Explore
Sign in
Primary navigation
Search or go to…
Project
Ú
Úvod do kryptografie
Manage
Activity
Members
Labels
Plan
Issues
Issue boards
Milestones
Wiki
Code
Merge requests
Repository
Branches
Commits
Tags
Repository graph
Compare revisions
Snippets
Deploy
Releases
Package registry
Model registry
Operate
Terraform modules
Monitor
Incidents
Analyze
Value stream analytics
Contributor analytics
Repository analytics
Model experiments
Help
Help
Support
GitLab documentation
Compare GitLab plans
GitLab community forum
Contribute to GitLab
Provide feedback
Keyboard shortcuts
?
Snippets
Groups
Projects
Show more breadcrumbs
Martin Mareš
Úvod do kryptografie
Commits
cf4d5bbf
Commit
cf4d5bbf
authored
3 months ago
by
Martin Mareš
Browse files
Options
Downloads
Patches
Plain Diff
Teorie čísel: Část diskrétních logaritmů a hledání prvočísel
parent
ac4ae7ad
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
Changes
1
Show whitespace changes
Inline
Side-by-side
Showing
1 changed file
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
+54
-0
54 additions, 0 deletions
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
with
54 additions
and
0 deletions
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
+
54
−
0
View file @
cf4d5bbf
...
...
@@ -589,8 +589,62 @@ nicméně pan Rabin později nahlédl, že svědků vždy existuje alespoň $3/4
a randomizovaný algoritmus byl na~světě.
}
\subsection
{
Hledání prvočísel
}
Často potřebujeme opatřit si nějaké velké (
$
b
$
-bitové) prvočíslo. Nabízí se
generovat náhodná
$
b
$
-bitová čísla (začínající na~1), testovat, zda to jsou
prvočísla, a~opakovat, dokud nedostaneme prvočíslo.
TODO
\section
{
Diskrétní logaritmy
}
Důležitou vlastností těles modulo prvočíslo je, že se v~nich dá logaritmovat.
Nejprve uvedeme bez důkazu následující větu:
\claim
{
Pro každé prvočíslo~
$
p
$
je multiplikativní grupa~
$
\Zsp
$
cyklická. Existuje
tedy alespoň jedno~
$
g
$
(generátor) takové, že
$
\Zsp
=
\{
g
^
0
,
\ldots
,g
^{
p
-
2
}
\}
$
.
}
Grupa
$
\Zsp
$
je tedy izomorfní s~grupou
$
\Z
_{
p
-
1
}$
.
Izomorfismus v~jednom směru je funkce
$
e: x
\mapsto
g
^
x
\bmod
p
$
, v~druhém směru
její inverze, které se říká
\em
{
diskrétní logaritmus.
}
Zatímco mocniny modulo~
$
p
$
dokážeme počítat efektivně (v~čase
$
\O
(
b
^
3
)
$
),
diskrétní logaritmus nikoliv. Podobně jako u~faktorizace neznáme žádný polynomiální
algorimus, ale známe zajímavé subexponenciální algoritmy a polynomiální kvantový algoritmus.
Často potřebujeme nějaký generátor najít. K~tomu se hodí otestovat, zda dané číslo~
$
g
$
je generátorem.
\theorem
{
$
g
\in\Zsp
$
je generátorem~
$
\Zsp
$
právě tehdy, když pro všechny prvočíselné dělitele~
$
d
$
čísla~
$
p
-
1
$
platí
$
g
^{
(
p
-
1
)/
d
}
\not\equiv
1
$
.
}
\proof
Pokud pro některého z~dělitelů vyjde
$
g
^{
(
p
-
1
)/
d
}
\equiv
1
$
, znamená to, že
$
g
$
~není generátorem celé grupy,
nýbrž jen nějaké menší podgrupy.
Pro opačnou implikaci uvažme
$
g
$
, které generuje jen nějakou podgrupu
$
H
=
\{
g
^
0
,
\ldots
,g
^{
t
-
1
}
\}
\allowbreak\subset
\Z
_
p
$
,
přičemž
$
g
^
t
\equiv
1
$
.
Podle Lagrangeovy věty platí
$
t
=
|H|
\divs
|
\Z
_
p|
=
\varphi
(
p
)
=
p
-
1
$
.
Pro
$
d
=(
p
-
1
)/
t
$
by tedy bylo
$
g
^{
(
p
-
1
)/
d
}
\equiv
1
$
. Jenže
$
d
$
nemusí být prvočíslo
(a~testovat všechny neprvočíselné dělitele by trvalo příliš dlouho).
V~takovém případě uvážíme rozklad
$
d
=
d'e
$
, kde
$
d'
$
je prvočíslo a
$
e>
1
$
.
Potom
$
g
^{
(
p
-
1
)/
d'
}
\equiv
g
^{
((
p
-
1
)/
d
)
e
}
\equiv
\left
(
g
^{
(
p
-
1
)/
d
}
\right
)
^
e
\equiv
1
^
e
\equiv
1
$
.
Takže
$
g
$
z~negenerování usvědčíme volbou prvočíselného dělitele~
$
d'
$
.
\qed
\corr
{
Známe-li faktorizaci čísla
$
p
-
1
$
, umíme otestovat, zda
$
g
$
je generátor, v~čase
$
\O
(
b
^
4
)
$
.
Prvočíselných dělitelů totiž musí být
$
\O
(
b
)
$
.
}
\subsection
{
Hledání generátoru
}
TODO
\section
{
Diskrétní odmocniny
}
\sectionstar
{
Rozbor Rabinova-Millerova testu
}
...
...
This diff is collapsed.
Click to expand it.
Preview
0%
Loading
Try again
or
attach a new file
.
Cancel
You are about to add
0
people
to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Save comment
Cancel
Please
register
or
sign in
to comment