Teorie čísel: CRT

07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex

@@ -306,6 +306,76 @@ $x^{\varphi(n)} \equiv x^{jk} \equiv (x^j)^k \equiv 1^k \equiv 1$.
 
 \subsection{Činská věta o~zbytcích}
 
+Nyní se zamysleme nad tím, jak najít číslo~$x$, které dává modulo~$N_1$
+zadaný zbytek~$a_1$ a modulo~$N_2$ zbytek~$a_2$. Řešíme tedy soustavu kongruencí:
+$$\eqalign{
+	x&\equiv a_1 \pmod{N_1} \cr
+	x&\equiv a_2 \pmod{N_2} \cr
+}$$
+Především si můžeme všimnout, že najdeme-li nějaké řešení, přičtením
+libovolného násobku čísla $N=N_1N_2$ získáme další řešení. Stačí se tedy
+omezit na $x\in\Z_N$.
+
+Také si všimneme, že jsou-li $N_1$ a~$N_2$ soudělná, nemusí řešení vůbec
+existovat -- například v~soustavě
+$$\eqalign{
+	x&\equiv 2 \pmod 6 \cr
+	x&\equiv 3 \pmod 8 \cr
+}$$
+první kongruence vynucuje, aby $x$~bylo sudé, zatímco druhá, aby bylo liché.
+Za chvíli uvidíme, že soudělnost je jediná překážka.
+
+\obs{
+Nechť $N_1\perp N_2$.
+Uvažme funkci $f: \Z_N \rightarrow \Z_{N_1} \times \Z_{N_2}$
+definovanou takto:
+$$
+	f(x) = (x\bmod N_1, x\bmod N_2).
+$$
+Zamysleme se nad jejími vlastnostmi:
+\list{n.}
+
+\:Nejprve si všimneme, že $f$ je prostá.
+Pokud $f(x)=f(y)$, pak $x \bmod N = y \bmod N_1$, tedy $N_1 \divs (x-y)$.
+Podobně dostaneme $N_2 \divs (x-y)$. Jelikož $N_1\perp N_2$, plyne z~toho
+také $N \divs (x-y)$. To je ovšem pro $x,y\in\Z_N$ možné jen tehdy, když $x=y$.
+
+\:Každá prostá funkce mezi dvěma stejně velkými množinami ovšem musí být bijekce.
+To znamená, že naše soustava kongruencí má pro každé $a_1$ a~$a_2$ právě
+jedno řešení $f\inv(a_1,a_2)$.
+
+\:Naše funkce~$f$ je dokonce izomorfismus okruhů $Z_N$ a $Z_{N_1} \times \Z_{N_2}$.
+(Součinem okruhů $R_1$ a~$R_2$ se myslí okruh, jehož nosná množina je kartézský
+součin nosných množin $R_1\times R_2$ a operace se aplikují po složkách.)
+Platí totiž $f(0)=(0,0)$, $f(1)=(1,1)$, $f(x+y) = f(x) + f(y)$ a $f(xy) = f(x)\cdot f(y)$.
+
+\endlist
+}
+
+Tím jsme dokázali speciální případ takzvané Čínské věty o~zbytcích.\foot{Čínská
+se jí říká proto, že byla známa už ve starověké Číně. Zkracuje se jako CRT --
+Chinese Remainder Theorem.} Ukážeme si její dvě verze:
+
+\theoremn{Čínská zbytková neboli CRT}{
+Nechť $N_1,\ldots,N_k$ jsou navzájem nesoudělná kladná čísla,
+$N=N_1\cdot\ldots\cdot N_k$ a $a_i\in\Z_{N_i}$ pro $i=1,\ldots,k$.
+Pak existuje právě jedno $x\in\Z_N$ takové, že $x\bmod N_i = a_i$ pro všechna~$i$.
+}
+
+\theoremn{Algebraicka formulace CRT}{
+Nechť $N_1,\ldots,N_k$ jsou navzájem nesoudělná kladná čísla a
+$N=N_1\cdot\ldots\cdot N_k$.
+Pak funkce $f: \Z_N \rightarrow Z_{N_1} \times \ldots \times \Z_{N_k}$
+definovaná jako $f(x) = (x\bmod N_1, \ldots, x\bmod N_k)$
+je izomorfismus okruhů $Z_N$ a $Z_{N_1} \times \ldots \times \Z_{N_k}$.
+}
+
+\proof
+Pro $k=1$ jsou obě věty triviální, pro $k=2$ jsme je už dokazali.
+Dále pokračujeme indukcí podle~$k$, přičemž případ pro $k=2$ použijeme
+jako indukční krok.
+\qed
+
 \subsection{Eulerova funkce}
 
 \section{Faktorizace versus prvočíselnost}