Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit 2c20c8a0 authored by Martin Mareš's avatar Martin Mareš
Browse files

Teorie čísel: Důkaz cykličnosti multiplikativní grupy

parent 7ae8a432
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
......@@ -603,9 +603,9 @@ tedy na prvočíslo narazíme po průměrně $\Theta(b)$ pokusech.
\section{Diskrétní logaritmy}
Důležitou vlastností těles modulo prvočíslo je, že se v~nich dá logaritmovat.
Nejprve uvedeme bez důkazu následující větu:
Začneme následující větou (důkaz zájemce najde v~závěru tohoto oddílu).
\claim{
\theorem{
Pro každé prvočíslo~$p$ je multiplikativní grupa~$\Zsp$ cyklická. Existuje
tedy alespoň jedno~$g$ (generátor) takové, že $\Zsp = \{g^0,\ldots,g^{p-2}\}$.
}
......@@ -670,6 +670,77 @@ Tehdy $\varphi(p-1) = \varphi(2q) = \varphi(2)\varphi(q) = 1\cdot (q-1) = q-1 \a
Generátory tedy tvoří přibližně polovinu prvků~$\Zsp$, takže po průměrně dvou pokusech
nějaký najdeme.
\subsectionstar{Důkaz věty o cykličnosti multiplikativní grupy}
% několik hezkých důkazů viz https://www.di-mgt.com.au/docs/cyclicFp.pdf
Nejprve definujme $N_p(d)$ jako počet prvků~$\Zsp$, které mají řád~$d$.
Řády prvků musí dělit řád celé grupy, což je $p-1$, takže $N_p(d)$
může být nenulové jen pro $d\divs (p-1)$.
Generátor celé grupy je prvek řádu $p-1$, takže tvrzení věty je ekvivalentní
s~$N_p(p-1) > 0$.
\lemma{
Nechť $d\divs (p-1)$ a $N_p(d) > 0$. Potom $N_p(d) = \varphi(d)$.
}
\proof
Nechť $N_p(d) > 0$ a $a\in\Zsp$ je nějaký prvek řádu~$d$.
Uvažujme rovnici $x^d\equiv 1$ v~$\Zp$. To je polynomiální rovnice řádu~$d$
v~tělese, takže má nejvýše $d$ kořenů. Všechny mocniny $a^0$$a_{d-1}$
patří mezi kořeny (platí $(a^i)^d \equiv a^{id} \equiv (a^d)^i \equiv 1^i \equiv 1$),
tím pádem žádné další kořeny neexistují.
Každý prvek řádu~$d$ ovšem musí být kořenem této rovnice, takže
ho jde zapsat jako~$a^i$ pro nějaké~$i$. Z~úvahy o~počítání generátorů
plyne, že $a^i$ generuje právě tehdy, když $i\perp d$. Takových~$i$
je $\varphi(d)$.
\qed
\corr{
Pro každé $d\divs (p-1)$ platí $N_p(d) \le \varphi(d)$.
}
Každý prvek~$\Zsp$ má nějaký řád.
Proto sečteme-li $N_p(d)$ přes všechna~$d$, musíme dostat $p-1$.
Zkombinováním s~předchozím důsledkem dostaneme:
$$
p-1 = \sum_{d\divs (p-1)} N_p(d)
\le \sum_{d\divs (p-1)} \varphi(d). \eqno{(*)}
$$
Platí ovšem i opačná nerovnost:
\lemma{
Pro každé $n>0$ platí $\sum_{d\divs n} \varphi(n) = n$.
}
\proof
Budeme počítat zlomky
$$
{1\over n},
{2\over n},
{3\over n},
\dots
{n-1\over n},
{n\over n}.
$$
rozdělené do skupin podle jmenovatele po zkrácení.
Pokud se zlomek $i/n$ zkrátí na $j/d$, musí být $j\perp d$ a $d\divs n$.
Navíc $1\le i\le n$ je ekvivalentní s~$1\le j\le d$.
Pro dané~$d$ tedy připadají v~úvahu všechna $j$ od~1 do~$d$,
která jsou nesoudělná s~$d$. Těch je $\varphi(d)$.
Sečtením přes všechna~$d$ získáme rovnost z~tvrzení lemmatu.
\qed
Spojením lemmatu s~nerovností~$(*)$ dostaneme
$$
\sum_{d\divs(p-1)} N_p(d) = \sum_{d\divs(p-1)} \varphi(d).
$$
Žádná z~nerovností $N_p(d) \le \varphi(d)$ tedy nemůže být ostrá.
Proto je $N_p(p-1) = \varphi(p-1)$, což je nenulové číslo.
Tím je věta dokázaná.
\section{Kvadratické zbytky}
Prozkoumejme, jak se v~$\Zp$ chovají druhé odmocniny (v~tomto oddílu budeme říkat prostě odmocniny).
......
0% Loading or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment