Redukce: Jiný symbol pro ekvivalenci stavů

\approx se tolik neplete s rovnítkem jako \equiv.

01-regular/regular.tex

@@ -825,7 +825,7 @@ Dosažitelné stavy jsou přesně ty, do nichž ze stavu~$q_0$ vede cesta. Tím
 je můžeme najít prohledáním automatu do šířky. Odstraníme-li všechny nedosažitelné
 stavy, nezmění se množina možných výpočtů, a~tím pádem ani jazyk přijímaný automatem.
 
-\defn{Stavy $s,t\in Q$ jsou \df{ekvivalentní} (značíme $s\equiv t$), pokud pro
+\defn{Stavy $s,t\in Q$ jsou \df{ekvivalentní} (značíme $s\approx t$), pokud pro
 každé slovo $\alpha\in\Sigma^*$ platí $\delta^*(s,\alpha)\in F$, právě když
 $\delta^*(t,\alpha)\in F$.
 }
@@ -835,23 +835,23 @@ shodnou na tom, zda slovo přijaly.
 Stavy, které nejsou ekvivalentní, jdou \df{oddělit} nějakým slovem~$\alpha$,
 na jehož přijetí se výpočty neshodnou.
 
-Snadno ověříme, že relace~$\equiv$ je opravdu ekvivalence (je reflexivní,
+Snadno ověříme, že relace~$\approx$ je opravdu ekvivalence (je reflexivní,
 symetrická a tranzitivní). Počítat ji podle definice není praktické, protože
 bychom museli otestovat nekonečně mnoho slov. Ukážeme, že ji lze počítat
 indukcí.
 
-\defn{Stavy $s,t\in Q$ jsou \df{ekvivalentní do délky~$k$} (značíme $s\equiv_k t$),
+\defn{Stavy $s,t\in Q$ jsou \df{ekvivalentní do délky~$k$} (značíme $s\approx_k t$),
 pokud nejdou oddělit žádným slovem délky nejvýše~$k$. Tedy
 $(\delta^*(s,\alpha)\in F) \Leftrightarrow (\delta^*(t,\alpha)\in F)$,
 kdykoliv $|\alpha|\le k$.
 }
 
 \obs{\list{o}
-\:Je-li $s\equiv_{k+1} t$, platí také $s\equiv_k t$. Ekvivalence~$\equiv_{k+1}$ je tedy
-\em{zjemněním} ekvivalence~$\equiv_k$, tedy $\mathord{\equiv_{k+1}} \subseteq \mathord{\equiv_k}$
+\:Je-li $s\approx_{k+1} t$, platí také $s\approx_k t$. Ekvivalence~$\approx_{k+1}$ je tedy
+\em{zjemněním} ekvivalence~$\approx_k$, tedy $\mathord{\approx_{k+1}} \subseteq \mathord{\approx_k}$
 a třídy jemnější ekvivalence jsou podmnožinami tříd hrubší ekvivalence.
 
-\:$s\equiv t$ platí právě tehdy, když je $s\equiv_k t$ pro všechna~$k$.
+\:$s\approx t$ platí právě tehdy, když je $s\approx_k t$ pro všechna~$k$.
 
 \:Stavy $s$ a~$t$ jsou odděleny prázdným slovem právě tehdy, je-li jeden z~nich
 přijímací a druhý nepřijímací.
@@ -865,46 +865,46 @@ slovem~$\alpha'$ délky $k-1$.
 
 Z~toho plyne:
 $$\eqalign{
-&(s\equiv_0 t) \Longleftrightarrow (s\in F \Leftrightarrow t\in F) \cr
-&(s\equiv_{k+1} t) \Longleftrightarrow (s\equiv_0 t) \land (\forall x\in\Sigma: \delta(s,x) \equiv_k \delta(t,x)) \cr
+&(s\approx_0 t) \Longleftrightarrow (s\in F \Leftrightarrow t\in F) \cr
+&(s\approx_{k+1} t) \Longleftrightarrow (s\approx_0 t) \land (\forall x\in\Sigma: \delta(s,x) \approx_k \delta(t,x)) \cr
 }$$
-To nám dává induktivní postup na sestrojení všech ekvivalencí~$\equiv_k$.
+To nám dává induktivní postup na sestrojení všech ekvivalencí~$\approx_k$.
 
 Jelikož každá další ekvivalence je zjemněním té předchozí a tříd není nikdy
 víc než stavů automatu, musí se zjemňování po konečně mnoha krocích zastavit
-s~$\mathord{\equiv_{k+1}} = \mathord{\equiv_k}$.
-Z~toho ovšem plyne $\mathord{\equiv_\ell} = \mathord{\equiv_k}$ pro všechna $\ell > k$,
-a~tím pádem i $\mathord{\equiv} = \mathord{\equiv_k}$.
+s~$\mathord{\approx_{k+1}} = \mathord{\approx_k}$.
+Z~toho ovšem plyne $\mathord{\approx_\ell} = \mathord{\approx_k}$ pro všechna $\ell > k$,
+a~tím pádem i $\mathord{\approx} = \mathord{\approx_k}$.
 
 \example{Sestrojíme ekvivalence pro automat z~obrázku \figref{dfa-reduce} bez nedosažitelného stavu~5.
 \tightlist{o}
-\:$\equiv_0$ má třídy:
+\:$\approx_0$ má třídy:
 	$$\halign{\hbox to 5em{\hfil$#$}&\hbox to 7em{${}#$\hfil}&#\hfil\cr
 		A&=\{0,1,2\} & nepřijímací \cr
 		B&=\{3,4\}   & přijímací \cr
 	}$$
-\:$\equiv_1$ má třídy:
+\:$\approx_1$ má třídy:
 	$$\halign{\hbox to 5em{\hfil$#$}&\hbox to 7em{${}#$\hfil}&#\hfil\cr
 		C&=\{0\}     & nepřijímací, znaky \|a| i~\|b| vedou do stavů z~třídy~$A$ \cr
 		D&=\{1,2\}   & nepřijímací, \|a| vede do~$A$, \|b| do~$B$ \cr
 		E&=\{3,4\}   & přijímací, \|a| i~\|b| vedou do~$B$ \cr
 	}$$
-\:$\equiv_2$ má třídy:
+\:$\approx_2$ má třídy:
 	$$\halign{\hbox to 5em{\hfil$#$}&\hbox to 7em{${}#$\hfil}&#\hfil\cr
 		F&=\{0\}     & nepřijímací, znaky \|a| i~\|b| vedou do stavů z~třídy~$D$ \cr
 		G&=\{1,2\}   & nepřijímací, \|a| vede do~$D$, \|b| do~$E$ \cr
 		H&=\{3,4\}   & přijímací, \|a| i~\|b| vedou do~$E$ \cr
 	}$$
 
-\:Ekvivalence~$\equiv_2$ vyšla stejná jako~$\equiv_1$, takže máme hotovou plnou ekvivalenci~$\equiv$.
+\:Ekvivalence~$\approx_2$ vyšla stejná jako~$\approx_1$, takže máme hotovou plnou ekvivalenci~$\approx$.
 \endlist
 }
 
 Nyní ukážeme, jak ekvivalentní stavy sloučit:
 
-\defn{Nechť $A=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ DFA, $\equiv$ ekvivalence jeho stavů
+\defn{Nechť $A=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ DFA, $\approx$ ekvivalence jeho stavů
 a pro každý stav $s\in Q$ je $[s]$ jeho ekvivalenční třída.
-Pak definujeme \df{faktorový automat} $A/\mathord{\equiv} = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$, kde:
+Pak definujeme \df{faktorový automat} $A/\mathord{\approx} = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$, kde:
 \tightlist{o}
 \:$Q' = \{[s] \mid s\in Q\}$,
 \:$\delta'([s],x) = [t]$, kdykoliv $\delta(s,x)=t$,
@@ -917,8 +917,8 @@ Pak definujeme \df{faktorový automat} $A/\mathord{\equiv} = (Q',\Sigma,\delta',
 Stavy faktorového automatu jsou tedy ekvivalenční třídy stavů původního
 automatu. Přechod z~ekvivalenční třídy $S$ do $T$ přes znak~$x$ odpovídá
 přechodu mezi $s\in S$ do $t\in T$ přes~$x$ v~původním automatu.
-Z~vlastností relace~$\equiv$ přitom plyne, že nezáleží na volbě reprezentantů $s$ a~$t$:
-pro každé $s,s'\in S$ a $x\in\Sigma$ je $sx \equiv s'x$.
+Z~vlastností relace~$\approx$ přitom plyne, že nezáleží na volbě reprezentantů $s$ a~$t$:
+pro každé $s,s'\in S$ a $x\in\Sigma$ je $sx \approx s'x$.
 Podobně třída je přijímací, pokud stavy v~ní ležící byly v~původním automatu přijímací;
 opět se na tom všichni reprezentanti třídy shodnou.
 }
@@ -953,17 +953,17 @@ tentýž jazyk jsou v~nějakém smyslu izomorfní.
 \subsection{Algoritmus na ekvivalenci stavů}
 
 Nyní konstrukci ekvivalence stavů formulujeme jako algoritmus.
-Postupně budeme vytvářet ekvivalence~$\equiv_k$. Budeme je reprezentovat pomocí
+Postupně budeme vytvářet ekvivalence~$\approx_k$. Budeme je reprezentovat pomocí
 ekvivalenčních tříd očíslovaných přirozenými čísly. Pro každy stav~$s$ si budeme
 pamatovat číslo $t[s]$ třídy, kam patří.
 
 \algo{EkvivalenceStavů}
 \algin Automat $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$
-\:Vytvoříme počáteční ekvivalenci~$\equiv_0$:
+\:Vytvoříme počáteční ekvivalenci~$\approx_0$:
 \::Pro všechny stavy $s\in Q$:
 \:::Je-li $s\in F$, pak $t[s]\=2$, jinak $t[s]\=1$.
 \::$p \= 2$  \cmt{počet tříd}
-\:Pro $k=1,2,\ldots,|Q|$:  \cmt{postupně vytváříme další ekvivalence~$\equiv_k$}
+\:Pro $k=1,2,\ldots,|Q|$:  \cmt{postupně vytváříme další ekvivalence~$\approx_k$}
 \::Pro všechny stavy $s\in Q$:
 \:::$a_s \= \hbox{pole nul indexované abecedou rozšířenou o~$\varepsilon$}$
 \:::$a_s[\varepsilon] \= t[s]$
@@ -978,14 +978,14 @@ pamatovat číslo $t[s]$ třídy, kam patří.
 \::::$t[s] \= i$
 \:::Je-li $i = p$, skončíme.
 \:::$p \= i$
-\algout Ekvivalence~$\equiv$ popsaná polem~$t$ čísel tříd.
+\algout Ekvivalence~$\approx$ popsaná polem~$t$ čísel tříd.
 \endalgo
 
-Při konstrukci ekvivalence~$\equiv_k$ algoritmus každému stavu~$s$ přiřadí jeho \em{kód:}
+Při konstrukci ekvivalence~$\approx_k$ algoritmus každému stavu~$s$ přiřadí jeho \em{kód:}
 $(|\Sigma|+1)$-tici čísel indexovanou znaky abecedy rozšířené o~$\varepsilon$.
-Na $x$-té pozici leží číslo ekvivalenční třídy v~$\equiv_{k-1}$, do níž padne $\delta(s,x)$.
+Na $x$-té pozici leží číslo ekvivalenční třídy v~$\approx_{k-1}$, do níž padne $\delta(s,x)$.
 Na pozici~$\varepsilon$ leží číslo původní ekvivalenční třídy.
-Dva stavy jsou pak ekvivalentní v~$\equiv_k$ právě tehdy, když dostaly stejný kód.
+Dva stavy jsou pak ekvivalentní v~$\approx_k$ právě tehdy, když dostaly stejný kód.
 Stačí tedy kódy setřídit a pro každou skupinu stejných kódů založit ekvivalenční třídu.
 
 Jaká je složitost tohoto algoritmu v~závislosti na počtu stavů $S = |Q|$ a velikosti abecedy $A = |\Sigma|$?