Korektury "algebraických" oddílů

01-regular/regular.tex

@@ -805,7 +805,7 @@ Zamysleme se nad tím, jakých stavů bychom se v~levém automatu dokázali zbav
 \:Stavy 3 a~4 není potřeba rozlišovat: oba jsou přijímací a po zpracování
 libovolného slova automat skončí zase v~přijímacím stavu. Můžeme je tedy
 sloučit do společného stavu 34, který bude přijímací a jak~\|a|, tak~\|b| povedou
-opět do stavu 34.
+opět do něj.
 
 \:Stavy 1 a~2 také není potřeba rozlišovat: v~obou platí, že \|b| nás posune
 do stavu 34, zatímco po \|a| zůstaneme v~1 nebo~2. Opět je můžeme sloučit
@@ -837,8 +837,8 @@ na jehož přijetí se výpočty neshodnou.
 
 Snadno ověříme, že relace~$\approx$ je opravdu ekvivalence (je reflexivní,
 symetrická a tranzitivní). Počítat ji podle definice není praktické, protože
-bychom museli otestovat nekonečně mnoho slov. Ukážeme, že ji lze počítat
-indukcí.
+bychom museli otestovat nekonečně mnoho slov. Ukážeme jednoduchý postup založený
+na indukci.
 
 \defn{Stavy $s,t\in Q$ jsou \df{ekvivalentní do délky~$k$} (značíme $s\approx_k t$),
 pokud nejdou oddělit žádným slovem délky nejvýše~$k$. Tedy
@@ -863,15 +863,17 @@ slovem~$\alpha'$ délky $k-1$.
 \endlist
 }
 
-Z~toho plyne:
+Z~toho plynou následující vlastnosti, které nám dávají induktivní postup pro sestrojení
+všech ekvivalencí $\approx_0$, $\approx_1$, \dots
 $$\eqalign{
 &(s\approx_0 t) \Longleftrightarrow (s\in F \Leftrightarrow t\in F) \cr
 &(s\approx_{k+1} t) \Longleftrightarrow (s\approx_0 t) \land (\forall x\in\Sigma: \delta(s,x) \approx_k \delta(t,x)) \cr
+&(s\approx_{k+1} t) \Longleftrightarrow (s\approx_k t) \land (\forall x\in\Sigma: \delta(s,x) \approx_k \delta(t,x)) \cr
 }$$
-To nám dává induktivní postup na sestrojení všech ekvivalencí~$\approx_k$.
+Druhá a třetí vlastnost jsou ekvivalentní, jelikož $\mathord{\approx_0}\subseteq\mathord{\approx_k}\subseteq\mathord{\approx_{k+1}}$.
 
-Jelikož každá další ekvivalence je zjemněním té předchozí a tříd není nikdy
-víc než stavů automatu, musí se zjemňování po konečně mnoha krocích zastavit
+Navíc každá další ekvivalence je zjemněním té předchozí a tříd není nikdy
+víc než stavů automatu. Tudíž se zjemňování musí po konečně mnoha krocích zastavit
 s~$\mathord{\approx_{k+1}} = \mathord{\approx_k}$.
 Z~toho ovšem plyne $\mathord{\approx_\ell} = \mathord{\approx_k}$ pro všechna $\ell > k$,
 a~tím pádem i $\mathord{\approx} = \mathord{\approx_k}$.
@@ -902,9 +904,9 @@ a~tím pádem i $\mathord{\approx} = \mathord{\approx_k}$.
 
 Nyní ukážeme, jak ekvivalentní stavy sloučit:
 
-\defn{Nechť $A=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ DFA, $\approx$ ekvivalence jeho stavů
+\defn{Nechť $A=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ je DFA, $\approx$ ekvivalence jeho stavů
 a pro každý stav $s\in Q$ je $[s]$ jeho ekvivalenční třída.
-Pak definujeme \df{faktorový automat} $A/\mathord{\approx} = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$, kde:
+\df{Faktorizací} tohoto automatu vznikne \df{faktorový automat} $A/\mathord{\approx} = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$, kde:
 \list{o}
 \:$Q' = \{[s] \mid s\in Q\}$,
 \:$\delta'([s],x) = [t]$, kdykoliv $\delta(s,x)=t$,
@@ -915,12 +917,13 @@ Pak definujeme \df{faktorový automat} $A/\mathord{\approx} = (Q',\Sigma,\delta'
 
 \note{
 Stavy faktorového automatu jsou tedy ekvivalenční třídy stavů původního
-automatu. Přechod z~ekvivalenční třídy $S$ do $T$ přes znak~$x$ odpovídá
-přechodu mezi $s\in S$ do $t\in T$ přes~$x$ v~původním automatu.
-Z~vlastností relace~$\approx$ přitom plyne, že nezáleží na volbě reprezentantů $s$ a~$t$:
-pro každé $s,s'\in S$ a $x\in\Sigma$ je $sx \approx s'x$.
-Podobně třída je přijímací, pokud stavy v~ní ležící byly v~původním automatu přijímací;
-opět se na tom všichni reprezentanti třídy shodnou.
+automatu. Přechod z~ekvivalenční třídy $[s]$ do $[t]$ přes znak~$x$ odpovídá
+přechodu z~$s$ do $t$ přes~$x$ v~původním automatu.
+Z~vlastností relace~$\approx$ přitom plyne, že nezáleží na volbě reprezentantů tříd:
+kdykoliv platí $[s] = [s']$, pak je také $\delta(s,x) \approx \delta(s',x)$,
+čili $[\delta(s,x)] = [\delta(s',x)]$.
+Podobně třída je přijímací, pokud stavy v~ní ležící byly v~původním automatu přijímací
+a opět se na tom všichni reprezentanti třídy shodnou.
 }
 
 \lemma{
@@ -928,12 +931,19 @@ Faktorizací automatu se nezmění přijímaný jazyk.
 }
 
 \proof
-Indukcí podle délky řetězce dokážeme, že pro každý řetězec~$\alpha$ platí
-$\delta'(q'_0,\alpha) = \delta'([q_0],\alpha) = [\delta(q_0,\alpha)]$.
-Tento stav leží v~$F'$ právě tehdy, když $\delta(q_0,\alpha)$ leží v~$F$.
+Dokážeme, že pro každý řetězec~$\alpha$ platí $\delta'^*(q'_0,\alpha) = [\delta^*(q_0,\alpha)]$.
+Tento stav leží v~$F'$ právě tehdy, když $\delta^*(q_0,\alpha)$ leží v~$F$.
+
+Použijeme indukci podle $|\alpha|$.
+Základní případ $\alpha=\varepsilon$ je snadný: $\delta'^*(q'_0,\varepsilon) = q'_0 = [q_0] = [\delta^*(q_0,\varepsilon)]$.
+Indukční krok: pro $\alpha=\alpha'x$ je $\delta'^*(q'_0,\alpha'x) = \delta'(\delta'^*(q_0,\alpha'), x)$.
+To je podle indukčního předpokladu rovno $\delta'([\delta^*(q_0,\alpha')],x)$.
+Dosazením do definice~$\delta'$ získáme $[\delta(\delta^*(q_0,\alpha'), x)]$
+a to je rovno $[\delta^*(q_0,\alpha)]$.
 \qed
 
-\example{Z~levého automatu na obrázku \figref{dfa-reduce} dostaneme faktorizací pravý automat.}
+\example{Z~levého automatu na obrázku \figref{dfa-reduce} dostaneme odstraněním nedosažitelného
+stavu~5 a faktorizací pravý automat.}
 
 \defn{
 Automat je \df{redukovaný,} pokud jsou všechny jeho stavy dosažitelné a žádné
@@ -948,20 +958,20 @@ Pak automat~$A'$ je redukovaný a přijímá stejný jazyk jako~$A$.
 }
 
 V~příštím oddílu navíc dokážeme, že všechny redukované automaty přijímající
-tentýž jazyk jsou v~nějakém smyslu izomorfní.
+tentýž jazyk \uv{vypadají stejně}.
 
 \subsection{Algoritmus na ekvivalenci stavů}
 
 Nyní konstrukci ekvivalence stavů formulujeme jako algoritmus.
 Postupně budeme vytvářet ekvivalence~$\approx_k$. Budeme je reprezentovat pomocí
-ekvivalenčních tříd očíslovaných přirozenými čísly. Pro každy stav~$s$ si budeme
+ekvivalenčních tříd očíslovaných přirozenými čísly. Pro každý stav~$s$ si budeme
 pamatovat číslo $t[s]$ třídy, kam patří.
 
 \algo{EkvivalenceStavů}
 \algin Automat $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$
-\:Vytvoříme počáteční ekvivalenci~$\approx_0$:
+\:Vytvoříme počáteční ekvivalenci~$\approx_0$:  \cmt{přijímací a nepřijímací stavy}
 \::Pro všechny stavy $s\in Q$:
-\:::Je-li $s\in F$, pak $t[s]\=2$, jinak $t[s]\=1$.
+\:::Je-li $s\in F$, pak $t[s]\=1$, jinak $t[s]\=2$.
 \::$p \= 2$  \cmt{počet tříd}
 \:Pro $k=1,2,\ldots,|Q|$:  \cmt{postupně vytváříme další ekvivalence~$\approx_k$}
 \::Pro všechny stavy $s\in Q$:
@@ -1010,10 +1020,10 @@ Algoritmus tedy doběhne v~čase $\Theta(S^2A)$.
 
 \sectionstar{Kanonické automaty}
 
-Když jsme zkoumali jazyk $L_{01} = \{ \0^n\1^n \}$, intuice nám říkala, že by neměl být
-regulární, protože si po načtení $\0^n$ musíme pamatovat libovolně velké číslo~$n$,
-na což nestačí konečná paměť automatu. Nyní se pokusíme něco jako paměť potřebnou
-k~rozpoznávání jazyka zavést pořádně.
+Když jsme zkoumali jazyk $L_{01} = \{ \0^n\1^n \}$ nad abecedou $\{\0,\1\}$, intuice nám říkala,
+že by neměl být regulární, protože si po načtení $\0^n$ musíme pamatovat libovolně velké číslo~$n$,
+na což nestačí konečná paměť automatu. Nyní se pokusíme paměť potřebnou k~rozpoznání jazyka
+zavést exaktně.
 
 \subsection{Syntaktická kongruence}
 
@@ -1023,7 +1033,7 @@ takový, že právě jeden z~řetězců $\alpha\sigma$ a~$\beta\sigma$ leží v~
 }
 
 \defn{\em{Syntaktická kongruence} neboli \em{Nerodova kongruence}\foot{Pro zjednodušení
-výkladu zde nerozlišujeme levé kongruence od pravých. Brzy to uvedeme na pravou míru.}
+zde nerozlišujeme levé kongruence od pravých. V~oddílu \secref{algsouv} to uvedeme na pravou míru.}
 jazyka $L\subseteq\Sigma^*$ je binární relace~$\sim_L$ na množině řetězců~$\Sigma^*$
 taková, že $\alpha\sim_L\beta$ právě tehdy, když $\alpha$ a~$\beta$ nejsou
 rozlišitelné vzhledem k~$L$.
@@ -1031,17 +1041,21 @@ rozlišitelné vzhledem k~$L$.
 
 \obs{Syntaktická kongruence je ekvivalence na množině~$\Sigma^*$.}
 
-\example{
-Pro jazyk $L_{01}$ jsou každá dvě slova $\0^n$ a~$\0^m$ ($n\ne m$) navzájem rozlišitelná,
-stačí zvolit suffix~$\1^n$, takže syntaktická kongruence má nekonečně mnoho tříd.
-Naopak pro jazyk $\{ \0^n \mid n \bmod 3 = 0 \}$
-jsou slova $\0^n$ a $\0^m$ rozlišitelná právě tehdy, když $n-m$ je dělitelné třemi;
-syntaktická kongruence má proto jenom 3~třídy určeně zbytkem po dělení délky řetězce třemi.
-}
+\examples{\tightlist{o}
+\:Pro jazyk $L_{01} = \{\0^n\1^m\}$ nad abecedou $\{\0,\1\}$ jsou každá dvě slova
+$\0^n$ a~$\0^m$ (kde $n\ne m$) navzájem rozlišitelná suffixem~$\1^n$,
+takže syntaktická kongruence má nekonečně mnoho tříd.
+\:Pro jazyk $\{ \0^n \mid n \bmod 3 = 0 \}$ nad abecedou $\{\0\}$ jsou slova $\0^n$ a $\0^m$
+rozlišitelná právě tehdy, když $n-m$ je dělitelné třemi. Syntaktická kongruence má proto
+jenom 3~třídy určeně zbytkem po dělení délky řetězce třemi.
+\:Pro tentýž jazyk nad abecedou $\{\0,\1\}$ se syntaktická kongruence změní:
+přibude třída pro slova obsahující~$\1$, která nelze žádným suffixem rozšířit
+na slovo z~jazyka.
+\endlist}
 
 Ukážeme, že kdykoliv má syntaktická kongruence konečně mnoho tříd, jazyk
-je regulární. Dokážeme totiž vytvořit automat, jehož stavy odpovídají třídám
-synaktické kongruence. (Časem uvidíme, že platí i opačná implikace.)
+je regulární. Dokážeme totiž vytvořit automat, jehož stavy odpovídají těmto třídám.
+(Časem uvidíme, že platí i opačná implikace.)
 
 \defn{\df{Kanonický automat} pro jazyk~$L\subset\Sigma^*$ je $A_L = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$, kde:
 \list{o}
@@ -1088,12 +1102,12 @@ takže $\alpha\sigma\in F$ právě tehdy, když $\beta\sigma\in F$. K~oddělení
 \qed
 
 \cor{
-Automatová kongruence~$\simeq_A$ je tedy zjemněním syntantické kongruence~$\sim_L$.
+Automatová kongruence~$\simeq_A$ je tedy zjemněním syntaktické kongruence~$\sim_L$.
 Ekvivalenční třídy kongruence~$\sigma_A$ navíc odpovídají dosažitelným stavům
 automatu~$A$. Proto automat má alespoň tolik stavů, kolik je tříd syntaktické kongruence.
 }
 
-Z~toho už snadno získáme následující slavnou větu.
+Z~toho už snadno získáme následující slavnou větu:
 
 \theoremn{Myhillova-Nerodova}{
 Jazyk~$L$ je regulární právě tehdy, když jeho syntaktická kongruence~$\sim_L$
@@ -1103,10 +1117,11 @@ má konečně mnoho tříd.
 \proof
 Nechť $\sim_L$ má konečně mnoho tříd. Pak existuje kanonický automat pro~$L$,
 takže $L$ je regulární.
-Naopak existuje-li nějaký automat~$A$ přijímající jazyk~$L$, uvažme jeho
-automatovou kongruenci~$\simeq_A$. Počet jejích tříd je shora omezený počtem
-stavů automatu, tudíž je konečný. A~jelikož automatová kongruence je zjemněním
-syntaktické, musí mít syntaktická také konečně mnoho tříd.
+Naopak existuje-li nějaký automat~$A$ přijímající jazyk~$L$, odstraníme z~něj
+nedosažitelné stavy a pak uvážíme automatovou kongruenci~$\simeq_A$.
+Její třídy odpovídají stavům automatu, takže jich je konečný počet.
+A~jelikož automatová kongruence je zjemněním syntaktické, musí mít syntaktická
+také konečně mnoho tříd.
 \qed
 
 \subsection{Izomorfismus automatů}
@@ -1130,8 +1145,8 @@ je bijekce $f: Q\rightarrow Q'$, pro kterou platí:
 
 \list{o}
 \:$f(q_0) = q'_0$,
-\:$s\in F \Leftrightarrow f(s)\in F'$,
-\:$\delta(s,x) = t \Leftrightarrow \delta'(f(s),x) = f(t)$.
+\:$s\in F \Longleftrightarrow f(s)\in F'$,
+\:$\delta(s,x) = t \Longleftrightarrow \delta'(f(s),x) = f(t)$.
 \endlist
 
 Pokud taková bijekce existuje, řekneme, že automaty $A$ a~$A'$ jsou izomorfní, což značíme $A\cong A'$.
@@ -1157,12 +1172,16 @@ Uvažme slovo $\alpha\in\Sigma^*$ délky~$n$ a výpočet automatu~$A$ nad tímto
 $q_0=s_0,s_1,\ldots,s_n$. Funkce~$f$ tento výpočet zobrazí na posloupnost stavů
 $s'_0=f(s_0),s'_1=f(s_1),\ldots,s'_n=f(s_n)$.
 
-Ověříme, že tato posloupnost je výpočtem automatu~$A'$ nad tímtéž slovem.
-Použijeme vlastnosti z~definice izomorfismu. Nejprve ověříme $s'_0 = f(s_0) = f(q_0) = q'_0$.
-Podle definice výpočtu je $s_{i+1} = \delta(s_i, \alpha[i])$, takže
-$s'_{i+1} = f(s_{i+1}) = f(\delta(s_i, \alpha[i])) = \delta'(f(s_i), \alpha[i]) = \delta'(s'_i, \alpha[i])$.
+Indukcí ověříme, že tato \uv{čárkovaná} posloupnost je výpočtem automatu~$A'$ nad tímtéž slovem~$\alpha$.
+Nejprve počáteční stav: $s'_0 = f(s_0) = f(q_0) = q'_0$.
+Jako indukční krok chceme ukázat, že platí $s'_{i+1} = f(s_{i+1})$. Do pravé strany dosadíme
+podle definice výpočtu $s_{i+1} = \delta(s_i, \alpha[i])$, čímž získáme
+$s'_{i+1} = f(\delta(s_i, \alpha[i]))$.
+Použitím definice izomorfismu získáme $s'_{i+1} = \delta'(f(s_i), \alpha[i])$.
+Podle indukčního předpokladu je $f(s_i) = s'_i$, takže $s'_{i+1} = \delta'(s'_i, \alpha[i])$.
+A~to odpovídá definici výpočtu automatu~$A'$.
 
-Nakonec víme, že $s_n\in F$ právě tehdy, když $s'_n = f(s_n) \in F'$, takže automaty
+Nakonec z~definice izomorfismu víme, že $s_n\in F$ právě tehdy, když $s'_n = f(s_n) \in F'$, takže automaty
 se shodnou na tom, zda slovo~$\alpha$ přijmou. Jelikož $\alpha$ jsme mohli zvolit libovolně,
 znamená to, že automaty přijímají tentýž jazyk.
 \qed
@@ -1170,11 +1189,12 @@ znamená to, že automaty přijímají tentýž jazyk.
 \subsection{Minimální automaty}
 
 Postupně ukážeme, že všechny redukované automaty přijímající jazyk~$L$
-jsou izomorfní s~kanonickým automatem~$A_L$.
+jsou izomorfní s~kanonickým automatem~$A_L$. Také zjistíme, že to jsou
+přesně ty automaty pro jazyk~$L$, které mají minimální počet stavů.
 
 \lemma{
 Nechť $A$ je automat přijímající jazyk~$L$.
-Stavy $s$ a~$t$ jsou ekvivalentní právě tehdy, když jejich třídy automatové kongruence~$\simeq_A$
+Jeho stavy $s$ a~$t$ jsou ekvivalentní právě tehdy, když jejich třídy automatové kongruence~$\simeq_A$
 leží v~těže třídě syntaktické kongruence~$\sim_L$.
 }
 
@@ -1183,14 +1203,16 @@ Nechť $T_s$ a~$T_t$ jsou třídy kongruence~$\simeq_A$ příslušné ke stavům
 a $\alpha\in T_s$ a $\beta\in T_t$ jsou nějací reprezentanti těchto tříd. Platí tedy
 $s=\delta^*(q_0,\alpha)$ a $t=\delta^*(q_0,\beta)$.
 
-Stavy $s$ a~$t$ jsou ekvivalentní právě tehdy, když pro každé dva suffixy~$\sigma$
+Stavy $s$ a~$t$ jsou ekvivalentní právě tehdy, když pro každé slovo~$\sigma$
 je $\delta^*(s,\sigma)\in F \Leftrightarrow \delta^*(t,\sigma)\in F$. To je totéž
-jako $\delta^*(q_0,\alpha\sigma)\in F \Leftrightarrow \delta^*(q_0,\alpha\sigma)\in F$,
-čili $\alpha\sigma\in L \Leftrightarrow \beta\sigma\in L$, a~to je přesně $\alpha\sim_L\beta$.
+jako $\delta^*(q_0,\alpha\sigma)\in F \Leftrightarrow \delta^*(q_0,\beta\sigma)\in F$,
+čili $\alpha\sigma\in L \Leftrightarrow \beta\sigma\in L$.
+Tedy že slova $\alpha$ a~$\beta$ nejdou vzhledem k~$L$ oddělit žádným
+suffixem, což je $\alpha\sim_L\beta$.
 \qed
 
 \cor{
-Automat bez nedosažitelnych stavů je redukovaný právě tehdy, když automatová kongruence je rovna
+Automat bez nedosažitelných stavů je redukovaný právě tehdy, když automatová kongruence je rovna
 syntaktické kongruenci jazyka. Kanonický automat je proto vždy redukovaný.
 }
 
@@ -1209,8 +1231,9 @@ a $A_L=(Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$ je kanonický automat pro jazyk~$L$.
 
 Definujme funkci~$f$, která každému stavu $s\in Q$ přiřadí příslušnou třídu $f(s)$
 automatové kongruence~$\simeq_A$. Z~předchozího víme, že pro redukovaný automat jsou třídy kongruence~$\simeq_A$
-rovny třídám syntaktické kongruence~$\sim_L$. Takže $f$ přiřazuje stavům automatu~$A$
-stavy kanonického automatu~$A_L$. Tato funkce je bijekce a ukážeme, že je to dokonce izomorfismus
+rovny třídám syntaktické kongruence~$\sim_L$, což jsou stavy kanonického automatu.
+Takže $f$ přiřazuje stavům automatu~$A$ stavy kanonického automatu~$A_L$.
+Tato funkce je bijekce a ukážeme, že je to dokonce izomorfismus
 automatů. To už je jednoduché cvičení na dosazování do definic.
 
 Nejprve ověříme kompatibilitu s~přechodovou funkcí. Chceme, aby platilo
@@ -1239,7 +1262,7 @@ nejmenší počet stavů.
 \cor{
 Každý minimální automat je redukovaný (jinak bychom redukcí získali menší automat).
 Tudíž je izomorfní s~kanonickým automatem~$A_L$. Jazyk má tedy (až na izomorfismus)
-právě jedne minimální automat.
+právě jeden minimální automat.
 }
 
 \exercises
@@ -1254,11 +1277,10 @@ objektu. Rozmyslete si, co znamená homomorfismus automatů, a~ukažte, že z~n
 
 \endexercises
 
-\sectionstar{Algebraické souvislosti}
+\sectionstar[algsouv]{Algebraické souvislosti}
 
-V~tomto oddílu prozkoumáme některé souvislosti mezi teorií automatů
-a algebrou. Předpokládáme čtenáře zběhlého v~základech algebry, takže
-text je místy poněkud hutnější.
+Kongruence, izomorfismy a faktorizace patří mezi základní pojmy obecné algebry.
+Pojďme souvislosti mezi algebrou a automaty prozkoumat hlouběji.
 
 \subsection{Monoidy a kongruence}
 
@@ -1266,12 +1288,12 @@ text je místy poněkud hutnější.
 \df{Monoid} je algebraická struktura $(X,\cdot,1)$, kde $X$ je množina prvků,
 $\cdot$ nějaká asociativní binární operace a~$1$ její jednotkový prvek (platí
 $1\cdot x = x\cdot 1 = x$ pro všechna $x\in X$).
-Pokud $\cdot$ navíc komutuje, mluvíme o~komutativním monoidu.
+Pokud $\cdot$ navíc komutuje, mluvíme o~\em{komutativním monoidu.}
 }
 
 \examples{\tightlist{o}
 \:Celá čísla s~násobením a jednotkovým prvkem~1 tvoří komutativní monoid.
-\:Funkce z~$\{1,\ldots,n\}$ do $\{1,\ldots,n\}$ spolu se skládáním funkcí a identitou
+\:Množina všech funkcí z~$\{1,\ldots,n\}$ do $\{1,\ldots,n\}$ spolu se skládáním funkcí a identitou
   tvoří monoid, který pro $n>1$ není komutativní.
 \endlist
 }
@@ -1286,7 +1308,7 @@ a jako jednotkový prvek slouží prázdný řetězec~$\varepsilon$. Tomuto mono
 Kongruencí se obecně myslí ekvivalence na množině prvků, která je kompatibilní
 s~operacemi. To znamená, že nahradíme-li operandy ekvivalentními prvky, bude
 výsledek operace ekvivalentní s~původním výsledkem. Pro nekomutativní struktury
-uvažujeme i~jednostranné kongruence.
+uvažujeme i~jednostranné kongruence. Konkrétně pro monoidy:
 
 \defn{
 Nechť $M=(X,\cdot,1)$ je monoid. O~ekvivalenci~$\sim$ na~$X$ řekneme, že je to:
@@ -1315,22 +1337,25 @@ a $\beta\sigma$ musí také vést do téhož stavu.
 }
 
 \example{
-I~na ekvivalenci stavů v~automatu se můžeme dívat jako na kongruenci,
+I~na ekvivalenci stavů~$\approx$ v~automatu se můžeme dívat jako na kongruenci,
 ovšem na jiné algebraické struktuře. Pro každý znak abecedy~$x$ definujeme
 funkci $f_x: Q\rightarrow Q$, která bude říkat, jak se přechází mezi stavy
 po přečtení~$x$. Tedy $f_x(s) = \delta(s,x)$. Po kongruenci pak budeme chtít,
-aby byla kompatibilní se všemi~$f_x$, čili aby bylo $f_x(s)\sim f_x(s')$,
-kdykoliv $s\sim s'$. A~také aby byla kompatibilní s~vlastností \uv{být
-koncový stav}, tedy z~$s\sim s'$ plynulo $s\in F \Leftrightarrow s'\in F$.
+aby byla kompatibilní se všemi~$f_x$, čili aby bylo $f_x(s)\approx f_x(s')$,
+kdykoliv $s\approx s'$. A~také aby byla kompatibilní s~vlastností \uv{být
+koncový stav}, tedy z~$s\approx s'$ plynulo $s\in F \Leftrightarrow s'\in F$.
 }
 
 Kdykoliv máme nějakou kongruenci, můžeme podle ní strukturu faktorizovat.
-Získame tak strukturu, jejíž prvky jsou ekvivalenční třídy kongruence
+Získáme tak strukturu, jejíž prvky jsou ekvivalenční třídy kongruence
 a operace zdědíme z~reprezentantů tříd -- z~vlastností kongruence pak
-plyne, že nezáleží na volbě reprezentantů.
+plyne, že nezáleží na volbě reprezentantů. Tím jsme \uv{slepili ekvivalentní
+prvky do jednoho}, jako například v~redukci automatu.
 
 \subsection{Polookruh jazyků}
 
+Také jazyky zapadají do zajímavých algebraických struktur.
+
 \defn{
 \df{Polookruh} je algebraická struktura $(X,+,\cdot,0,1)$, kde $+$ a~$\cdot$ jsou
 binární operace, $(X,\cdot,1)$ tvoří monoid, $(X,+,0)$ tvoří komutativní monoid
@@ -1339,7 +1364,7 @@ $$
 	x\cdot (y+z) = x\cdot y + x\cdot z, \quad
 	(x+y)\cdot z = x\cdot z + y\cdot z.
 $$
-Pokud navíc $\cdot$ komutuje, mluvíme o~komutativním polookruhu.
+Pokud navíc $\cdot$ komutuje, mluvíme o~\em{komutativním polookruhu.}
 }
 
 \note{
@@ -1350,6 +1375,7 @@ Pokud navíc $\cdot$ komutuje, mluvíme o~komutativním polookruhu.
 
 \examples{\tightlist{o}
 \:Celá čísla $(\Z,+,\cdot,0,1)$ s~běžnými operacemi tvoří komutativní okruh.
+\:Přirozená čísla $(\N,+,\cdot,0,1)$ s~běžnými operacemi tvoří komutativní polookruh.
 \:Matice $\R^{n\times n}$ spolu s~maticovým sčítáním a násobením,
   nulovou maticí a jednotkovou maticí tvoří okruh, který pro $n>1$ nekomutuje.
 \:Booleova algebra $(\{0,1\},\lor,\land,0,1)$ tvoří komutativní polookruh.
@@ -1473,8 +1499,12 @@ a řešení soustavy z~nich umíme vyjádřit pomocí operací regulárních vý
 \exercises
 
 \ex{Uvažme, co by se stalo, kdybychom syntaktickou kongruenci definovali přes
-prefixy místo suffixů. Bude nadále platit Myhillova-Nerodova věta? Bude mít
-syntaktická kongruence nějaký vztah k~automatům?}
+prefixy místo suffixů. Tomu se říká \em{pravá syntaktická ekvivalence} a je to
+levá kongruence na monoidu~$\Sigma^*$. Bude nadále platit Myhillova-Nerodova věta?
+Bude mít tato syntaktická kongruence nějaký vztah k~automatům?}
+
+\exx{Jak vypadá oboustranná syntaktická kongruence? Platí pro ni Myhillova-Ne\-rodo\-va věta?
+Co dá faktorizace~$\Sigma^*$ touto kongruencí?}
 
 \ex{Charakterizujte všechna řešení rovnice $X=AX\cup B$ v~případě, že $\varepsilon\in A$.
 }

TODO

@@ -2,6 +2,9 @@ Regulární:
 
 - Automaty s výstupem -> cvičení
     ... pak by se dala definovat regulární redukce mezi jazyky
+- obrázek ke kongruencím: automat, automatová kongruence, syntaktická kongruence
+- cvičení na redukci automatů
+- cvičení na syntaktické kongruence
 
 Bezkontextové: