Algebra dopsána a oddělena do samostatného oddílu

01-regular/regular.tex

@@ -1008,21 +1008,15 @@ Algoritmus tedy doběhne v~čase $\Theta(S^2A)$.
 
 \endexercises
 
-\sectionstar{Algebraické souvislosti}
-
-{\bf Pozor! Tato kapitola je ve vývoji.}
-
-V~tomto oddílu prozkoumáme některé souvislosti mezi teorií automatů
-a algebrou. Předpokládáme čtenáře zběhlého v~základech algebry, takže
-důkazy jsou zde poněkud hutnější.
-
-\subsection{Kanonické automaty}
+\sectionstar{Kanonické automaty}
 
 Když jsme zkoumali jazyk $L_{01} = \{ \0^n\1^n \}$, intuice nám říkala, že by neměl být
 regulární, protože si po načtení $\0^n$ musíme pamatovat libovolně velké číslo~$n$,
 na což nestačí konečná paměť automatu. Nyní se pokusíme něco jako paměť potřebnou
 k~rozpoznávání jazyka zavést pořádně.
 
+\subsection{Syntaktická kongruence}
+
 \defn{Nechť $L$ je nějaký jazyk nad abecedou~$\Sigma$. Řetězce $\alpha,\beta \in \Sigma^*$
 jsou rozlišitelné vzhledem k~$L$, pokud existuje nějaký suffix $\sigma\in\Sigma^*$
 takový, že právě jeden z~řetězců $\alpha\sigma$ a~$\beta\sigma$ leží v~$L$.
@@ -1248,7 +1242,25 @@ Tudíž je izomorfní s~kanonickým automatem~$A_L$. Jazyk má tedy (až na izom
 právě jedne minimální automat.
 }
 
-\subsectionstar{Monoidy a polookruhy}
+\exercises
+
+\ex{Homomorfismus se od izomorfismu liší tím, že nevyžadujeme, aby zobrazení bylo bijektivní.
+Můžeme si tedy představit, že je to izomorfismus jednoho objektu s~nějakou podmnožinou druhého
+objektu. Rozmyslete si, co znamená homomorfismus automatů, a~ukažte, že z~něj také plyne,
+že automaty rozpoznávají stejný jazyk.
+}
+
+\ex{Formulujte definici izomorfismu pro nedeterministické automaty.}
+
+\endexercises
+
+\sectionstar{Algebraické souvislosti}
+
+V~tomto oddílu prozkoumáme některé souvislosti mezi teorií automatů
+a algebrou. Předpokládáme čtenáře zběhlého v~základech algebry, takže
+důkazy jsou zde poněkud hutnější.
+
+\subsection{Monoidy a kongruence}
 
 \defn{
 \df{Monoid} je algebraická struktura $(X,\cdot,1)$, kde $X$ je množina prvků,
@@ -1266,11 +1278,59 @@ Pokud $\cdot$ navíc komutuje, mluvíme o~komutativním monoidu.
 
 \defn{
 Nad libovolnou abecedou~$\Sigma$ můžeme definovat monoid $(\Sigma^*, \cdot, \varepsilon)$.
-Jeho prvky řetězce, binární operace je zřetězení (rozmyslete si asociativitu)
+Jeho prvky jsou řetězce, jako binární operaci zvolíme zřetězení (rozmyslete si asociativitu)
 a jako jednotkový prvek slouží prázdný řetězec~$\varepsilon$. Tomuto monoidu se říká
 \df{volný monoid} nad abecedou~$\Sigma$ nebo také \df{monoid řetězců}.
 }
 
+Kongruencí se obecně myslí ekvivalence na množině prvků, která je kompatibilní
+s~operacemi. To znamená, že nahradíme-li operandy ekvivalentními prvky, bude
+výsledek operace ekvivalentní s~původním výsledkem. Pro nekomutativní struktury
+uvažujeme i~jednostranné kongruence.
+
+\defn{
+Nechť $M=(X,\cdot,1)$ je monoid. O~ekvivalenci~$\sim$ na~$X$ řekneme, že je to:
+\list{o}
+\:\df{kongruence} na~$M$, pokud z~$x\sim x'$ a $y\sim y'$ plyne $x\cdot y \sim x'\cdot y'$,
+\:\df{levá kongruence} na~$M$, pokud z~$y\sim y'$ plyne $x\cdot y \sim x\cdot y'$,
+\:\df{pravá kongruence} na~$M$, pokud z~$x\sim x'$ plyne $x\cdot y \sim x'\cdot y$.
+\endlist
+}
+
+\obs{
+$\sim$ je kongruence, pokud je to současně levá i pravá kongruence.
+}
+
+\example{
+Syntaktická kongruence~$\sim_L$ pro jazyk~$L$ má vlastnosti pravé kongruence:
+pokud řetězce $\alpha$ a~$\beta$ nejdou rozlišit vzhledem k~$L$ žádným suffixem,
+pak ani $\alpha\sigma$ a~$\beta\sigma$ nejdou rozlišit žádným suffixem.
+Překvapivě se jí ale říká \em{levá syntaktická ekvivalence.}
+}
+
+\example{
+Automatová kongruence~$\simeq_A$ má také vlastnosti pravé kongruence:
+pokud řetězce $\alpha$ a~$\beta$ vedou do téhož stavu, pak $\alpha\sigma$
+a $\beta\sigma$ musí také vést do téhož stavu.
+}
+
+\example{
+I~na ekvivalenci stavů v~automatu se můžeme dívat jako na kongruenci,
+ovšem na jiné algebraické struktuře. Pro každý znak abecedy~$x$ definujeme
+funkci $f_x: Q\rightarrow Q$, která bude říkat, jak se přechází mezi stavy
+po přečtení~$x$. Tedy $f_x(s) = \delta(s,x)$. Po kongruenci pak budeme chtít,
+aby byla kompatibilní se všemi~$f_x$, čili aby bylo $f_x(s)\sim f_x(s')$,
+kdykoliv $s\sim s'$. A~také aby byla kompatibilní s~vlastností \uv{být
+koncový stav}, tedy z~$s\sim s'$ plynulo $s\in F \Leftrightarrow s'\in F$.
+}
+
+Kdykoliv máme nějakou kongruenci, můžeme podle ní strukturu faktorizovat.
+Získame tak strukturu, jejíž prvky jsou ekvivalenční třídy kongruence
+a operace zdědíme z~reprezentantů tříd -- z~vlastností kongruence pak
+plyne, že nezáleží na volbě reprezentantů.
+
+\subsection{Polookruh jazyků}
+
 \defn{
 \df{Polookruh} je algebraická struktura $(X,+,\cdot,0,1)$, kde $+$ a~$\cdot$ jsou
 binární operace, $(X,\cdot,1)$ tvoří monoid, $(X,+,0)$ tvoří komutativní monoid
@@ -1308,10 +1368,10 @@ jsou svázány distributivitou $(A\cup B)\cdot C = A\cdot C \cup B\cdot C$
 a analogicky z~opačné strany.
 }
 
-\subsectionstar{Lineární rovnice pro jazyky}
+\subsection{Lineární rovnice pro jazyky}
 
 Pojďme prozkoumat, jak se chovají rovnice typu $X=AX\cup B$, kde $X$ je neznámý
-jazyk a $A$ a~$B$ známé jazyky. To je analogie lineárních rovnic, jen v~okruhu jazyků
+jazyk a $A$ a~$B$ známé jazyky. To je analogie lineárních rovnic, jen v~polookruhu jazyků
 místo tělesa reálných čísel. Aby analogie lépe vynikla, budeme na chvíli psát $+$ místo~$\cup$.
 
 \lemma{Pro každé dva jazyky $A$ a~$B$ existuje jazyk~$X$ takový, že $X=AX+B$.
@@ -1412,15 +1472,11 @@ a řešení soustavy z~nich umíme vyjádřit pomocí operací regulárních vý
 
 \exercises
 
-\ex{Homomorfismus se od izomorfismu liší tím, že nevyžadujeme, aby zobrazení bylo bijektivní.
-Můžeme si tedy představit, že je to izomorfismus jednoho objektu s~nějakou podmnožinou druhého
-objektu. Rozmyslete si, co znamená homomorfismus automatů, a~ukažte, že z~něj také plyne,
-že automaty rozpoznávají stejný jazyk.
-}
-
-\ex{Formulujte definici izomorfismu pro nedeterministické automaty.}
+\ex{Uvažme, co by se stalo, kdybychom syntaktickou kongruenci definovali přes
+prefixy místo suffixů. Bude nadále platit Myhillova-Nerodova věta? Bude mít
+syntaktická kongruence nějaký vztah k~automatům?}
 
-\exx{Charakterizujte všechna řešení rovnice $X=AX\cup B$ v~případě, že $\varepsilon\in A$.
+\ex{Charakterizujte všechna řešení rovnice $X=AX\cup B$ v~případě, že $\varepsilon\in A$.
 }
 
 \endexercises