TEACHING past1 += cvic7

jk_web/teaching_25_past1/__init__.py

@@ -100,6 +100,7 @@ with web.Module("teaching_25_past1") as module:
                 b<<lesson(4, "13. 3.", "Náhodné veličiny", scale=1.10)
                 b<<lesson(5, "13. 3.", "Střední hodnota d. n. v.", pdf='pdf')
                 b<<lesson(6, "27. 3.", "Náhodné veličiny a vektory")
+                b<<lesson(7, "3. 4.", "Nediskrétní náhodné veličiny")
 
 
         return base_page(b.root)

jk_web/teaching_25_past1/cvic7.tex

+\documentclass{article}
+\usepackage{cvika}
+\def\AND{\mathop{\&}}
+\usepackage{listings}
+\lstset{language=R}
+\usepackage{fullpage}
+\begin{document}
+
+\Nadpis{\bf 7. cvičení z PSt --- 3.4.2025}
+
+%Z obou kapitolek vyřešte aspoň dva příklady. 
+
+
+Připomeňte si, že distribuční funkce $F_X$ je definována vztahem
+$$
+   F_X(x) = \P(X \le x). 
+$$
+Pokud je $X$ spojitá, tak 
+$$
+  F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt
+$$ 
+pro nezápornou funkci $f_X$ (hustotu~$X$). 
+Pak je 
+$$
+  \P(X \in A) = \int_A f_X(t) dt, \qquad \mbox{tedy zejména} \qquad \P(a \le X \le b) = \int_a^b f_X(t) dt
+$$
+Platí také $\E(X) = \int_{-\infty}^\infty x \ f_X(x) dx$ a obecněji 
+$$
+   \E(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(t) \ f_X(t) dt. 
+$$ 
+Stejně jako pro diskrétní n.v. platí i zde, že $\var(X) = \E(X^2) - (\E(X))^2$. 
+
+\iffalse
+Ještě si připomeneme, že pro $X \sim Exp(\lambda)$ je 
+\begin{align*}
+  F_X(x) &= 1 - e^{-\lambda x} &\mbox{pro $x\ge 0$, jinak $0$} \\
+  f_X(x) &= \lambda e^{-\lambda x} &\mbox{pro $x\ge 0$, jinak $0$} \\
+  \E(X) &= 1/\lambda \\
+  \var(X) &= 1/\lambda^2 
+\end{align*}
+\fi
+
+\medskip
+\hrule
+\medskip
+\bigskip
+
+Připomeňte si, jak se počítá určitý integrál pomocí primitivní funkce. 
+
+\bigskip
+
+\nadpis{Používání $F$ a $f$} 
+
+\pr Pro n.v.~$X$ s distribuční funkcí~$F_X$ vyjádřete
+
+  \castusporna $\P(X \in (0,1])$
+  \castusporna $\P(X > 0)$
+  \castusporna* $\P(X < 0)$
+  \castusporna* $\P(X \in [0,1])$
+
+\pr Vyřešte předchozí část znovu, pro n.v.~$X$ s hustotou $f_X$. 
+
+\pr Nechť $X$ splňuje $\P(X=x) = 0$ pro každé $x$. 
+(Rozmyslete si, že to není nic divného, a že se to děje pro každou spojitou náhodnou veličinu.) 
+
+Vyjádřete pomocí $F_X$ distribuční funkci náhodných veličin
+
+\castusporna $-X$. 
+\castusporna $X^+ = \max(0, X)$, 
+%\castusporna $X^- = - \min(X, 0)$, 
+\castusporna $|X|$. %  = X^+ + X^-$. 
+%\castusporna $|X| = X^+ + X^-$. 
+
+
+\pr 
+Buď $X$ náhodná veličina s hustotou 
+$f_X(t) = 1/t^2$ pro $t \ge 1$ a $f_X(t) = 0$ jinak. 
+
+\cast Ověřte, že se jedná o hustotu. 
+
+\cast Určete $\E(X)$. 
+
+\cast Spočtěte distribuční funkci $F_X$. 
+
+\cast Určete $\P(2 \le X \le 3)$. 
+
+\cast Buď $Y = 1/X$. Jaká je distribuční funkce náhodné veličiny $Y$? 
+
+\cast Určete hustotu náhodné veličiny~$Y$. %Pojmenujte její rozdělení. 
+
+% Jde taky řešit přes větu o F(X) \sim U(0,1)!! -- ale ta je až později :( 
+% Možná říct pak na přednášce? 
+% Nebo přeházet? 
+
+\pr
+Říkáme, že $X$ má exponenciální rozdělení, $X \sim Exp(\lambda)$, pokud
+$$
+  F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} \qquad \mbox{pro $x\ge 0$, jinak $0$}. 
+$$
+Nalezněte $f_X$. Na přednášce si ukážeme, že $\E(X) = 1/\lambda$. 
+%  f_X(x) &= \lambda e^{-\lambda x} &\mbox{pro $x\ge 0$, jinak $0$} \\
+
+\pr 
+Předpokládejme, že u poštovní přepážky trvá vyřízení jednoho zákazníka čas, který má 
+exponenciální rozdělení a střední hodnotu 4 minuty. 
+
+\cast Jaký je parametr $\lambda$, jaká je distribuční funkce? 
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že budeme čekat více než 4 minuty? 
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že budeme čekat něco mezi 3 a 5 minutami? 
+
+
+
+\nadpis{K procvičení} 
+
+\pr
+Nechť $F_X$ je dána předpisem $F_X(x) = x/3$ pro $x \in [0,3]$, 
+$F_X(x) = 0$ pro $x < 0$ a $F_X(x) = 1$ pro $x>3$. Nechť 
+$Y = 1/X$ a $Z = X^2$. 
+Spočtěte
+
+\castusporna $\P(1 \le X \le 2)$
+\castusporna $\P(X \le Y)$
+\castusporna $\P(X \le Z)$
+\castusporna hustotní funkci $f_X$.
+\castusporna distribuční funkce $F_Y$ a $F_Z$. 
+
+\pr 
+Střední doba života harddisku je 4 roky. 
+Přepokládejme, že tato doba je popsána náhodnou veličinou s~exponenciálním rozdělením. 
+(To není realistický předpoklad, viz např.~\url{https://www.backblaze.com/blog/how-long-do-disk-drives-last/}.)
+
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že disk selže během prvních tří let?
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že vydrží alespoň 10 let?
+\cast Po jaké době se rozbije 10~\% disků?
+
+
+\pr
+Plutonium-238 má poločas rozpadu 87.7 let. Jeho rozpad budeme modelovat pomocí exponenciálního rozdělení:
+pro každý atom budeme čas, za který se rozpadne, považovat za nezávislou náhodnou veličinu s~rozdělením 
+$Exp(\lambda)$. 
+
+\cast Jaké je $\lambda$? 
+\cast Jaká je střední doba života atomu plutonia-238?
+\cast Po jaké době se rozpadne 90~\% atomů? 
+\cast Kolik procent atomů se rozpadne po 50 letech? (Některé kardiostimulátory používají 
+  plutonium-238 jako zdroj energie. \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Plutonium-238#Nuclear_powered_pacemakers}) 
+
+\pr
+Doba, za kterou uvidíme meteor, je exponenciálně rozdělená se střední hodnotou 1 (minuta). 
+
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset čekat více než 5 minut? 
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že se dočkáme za nejvýše jednu minutu? 
+\cast * Jaké je rozdělení času, kdy uvidíme druhý meteor? Třetí, \dots\ (Předpokládáme, že jednotlivé meteory jsou navzájem nezávislé.) 
+
+
+\end{document}
+
+\pr 
+Nechť $U \sim U(0,1)$ a $p \in [0,1]$. Uvažme funkci 
+$$
+  g(t) = \begin{cases}
+    0 & \mbox{pro $x>p$} \\
+    1 & \mbox{pro $x\le p$}
+         \end{cases} 
+$$
+Co můžete říct of n.v. $X = g(U)$? Spočtěte její střední hodnotu dvěma způsoby. 
+
+\pr
+Bublifukem vyfoukneme bublinu o poloměru $R \sim U(1,5)$. 
+Jaká je střední hodnota povrchu bubliny? 
+
+
+\nadpis{Bonus} 
+
+\pr  %Hezký příklad, ale asi se hodí až později, kolem ZVČ
+Počítání obsahu kruhu náhodným samplováním. 
+Vygenerujeme náhodný bod ve čtverci (obě souřadnice budou mít rozdělení $U(0,1)$). 
+Označíme $X_i$ indikátor jevu \uv{$i$-tý bod leží ve vepsaném kruhu}.  
+
+\cast Určete $\E(X_i)$, $\var(X_i)$.
+\cast Položte $S_n = (X_1 + \dots + X_n)/n$. Určete $\E(S_n)$ a $\var(S_n)$. 
+\cast Ukažte, jak lze počítat $S_n$ z $S_{n-1}$, $X_n$ a $n$. 
+\cast Sestavte program v libovolném jazyce a spočítejte pomocí něj hodnotu $\pi$. (Jak velké $n$ myslíte, že bude potřeba
+  pro pět správných číslic?)
+
+
+\nadpis{Modelování pomocí n.v.} 
+
+\pr 
+Pan Chen Cheng navštívil Prahu a v uniformně náhodný čas (0:00-24:00) se objeví na Staroměstském náměstí.
+Každou celou hodinu od 9:00 do 23:00 se na orloji objevuje 12 figur apoštolů. 
+
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že pan Cheng uvidí apoštoly, aniž by čekal déle než 15 minut. 
+
+\cast Co když pan Cheng přijde na Staroměstské náměstí v uniformně náhodném čase po poledni, 
+tj. 12:00--24:00? 
+
+\pr Házíme na terč -- kruh o poloměru~1. Předpokládejme, že každý bod v terči má stejnou pravděpodobnost zásahu, 
+přesněji, každá jeho podmnožina má pravděpodobnost úměrnou své ploše. Označme $X$ vzdálenost od středu.
+\castusporna Najděte distribuční funkci $F_X$. 
+\castusporna Najděte hustotní funkci $f_X$. 
+\castusporna Zjistěte $\E(X)$, $\var(X)$, $\sigma_X$. 
+
+\pr
+Říkáme, že náhodná veličina $X$ (resp. její rozdělení) \emph{nemá paměť}, pokud 
+$$
+   \P(X > s+t | X > s) = \P(X > t) 
+$$
+pro $s, t \ge 0$. 
+Jinými slovy, doba, kterou jsme již čekali, nemá vliv na dobu, kterou budeme ještě čekat. 
+Na třetím cvičení jsme viděli, že geometrické rozdělení nemá paměť. 
+Ukažte, že ani exponenciální rozdělení nemá paměť. 
+Platí dokonce, že je to jediné spojité rozdělení na kladných čísel bez paměti (a geometrické je jediné 
+diskrétní bez paměti), ale to dokazovat nemusíte. 
+
+
+