KG1: Update 5. cv

jk_web/teaching_24_kg1/5.md

@@ -14,9 +14,11 @@ _Příští týden se cvičení nekoná, je děkanský sportovní den._
 Catalanova čísla
 ================
 
-_Z přednášky: $n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů mající právě levého a pravého potomka) s právě $n$ vnitřními vrcholy.
+::: {c=from_lesson}
+Z přednášky: $n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů mající právě levého a pravého potomka) s právě $n$ vnitřními vrcholy.
 Na přednášce bylo ukázáno, že tato čísla splňují rekurenci $C_n = \sum_{0\leq i < n} C_i C_{n-1-i}$
-a pomocí vytvořujících funkcí bylo ukázáno, že $C_n = {1\over n+1}{2n \choose n}$._
+a pomocí vytvořujících funkcí bylo ukázáno, že $C_n = {1\over n+1}{2n \choose n}$.
+:::
 
 Catalanovské objekty
 --------------------
@@ -40,6 +42,7 @@ Každou z předešlých úloh můžete ukázat:
 1) buď pomocí rekurzivního vzorečku,
 2) nebo pomocí bijekce na jiné objekty, jejichž počet už znáte.
 
+![](5-1.png){width=95%}
 
 Alternativní odvození vzorečku pro $C_n$
 --------------------------------------
@@ -59,11 +62,14 @@ c) Odvoďte z toho, že počet dobrých procházek končících v bodě $(n, n)$
 Projektivní roviny
 ==================
 
+::: {c=from_lesson}
+Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf $(X, {\cal P})$ splňující trojici axiomů:_
 
-_Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf $(X, {\cal P})$ splňující trojici axiomů:_
-1) _Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in {\cal P}$, která je oba obsahuje._
-2) _Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in {\cal P}$ platí $|p \cap q| = 1$._
-3) _Existuje čtyřprvková množina vrcholů $Č$, jejíž žádné tři vrcholy neleží ve společné hyperhraně._
+1) Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in {\cal P}$, která je oba obsahuje.
+2) Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in {\cal P}$ platí $|p \cap q| = 1$.
+3) Existuje čtyřprvková množina vrcholů $Č$, jejíž žádné tři vrcholy neleží ve společné hyperhraně.
+
+:::
 
 Alternativní axiomatizace
 -------------------------
@@ -75,16 +81,16 @@ z $\cal P$, z nichž každá obsahuje alespoň tři různé body.
 Konstrukce
 ----------
 
-Nechť $p$ je prvočíslo a $[p] = \{0,1,\dots p\}$. Uvažme množinu trojic $[p]^3$.
-Na této množině zavedeme ekvivalenci $(x_1, y_1, z_1) \sim (x_2, y_2, z_2)$ právě tehdy když existuje $\alpha$ takové, že:
+Nechť $p$ je prvočíslo a $[p] = \{0,1,\dots, p-1\}$. Uvažme množinu trojic $[p]^3-\{(0,0,0)\}$.
+Na této množině zavedeme ekvivalenci $(x_1, y_1, z_1) \sim (x_2, y_2, z_2)$ právě tehdy když existuje $\alpha \in \{1,2,\dots, p-1\}$ takové, že:
 $$
-x_1 \equiv x_1 \qquad
-y_1 \equiv y_1 \qquad
-z_1 \equiv z_1 \qquad
+x_1 \equiv \alpha \cdot x_2 \qquad
+y_1 \equiv \alpha \cdot y_2 \qquad
+z_1 \equiv \alpha \cdot z_2 \qquad
 ({\rm mod}\ p).$$
 Množinu všech tříd ekvivalence $\sim$ ozmačíme $X$.
 
-Definujeme ${\cal P} = \{\{(x,y,z) \mid (x,y,z)\in [p]^3,  ax+by+cz = 0\} \mid (a,b,c)\in [p]^3\}$.
+Definujeme ${\cal P} = \{\{(x,y,z) \mid (x,y,z)\in [p]^3,  ax+by+cz \equiv 0 \  ({\rm mod}\ p) \} \mid (a,b,c)\in [p]^3-\{(0,0,0)\}\}$.
 
 a) Ověřte, že $\sim$ je skutečně relace ekivalence.
 b) Ověřte, že $(X, {\cal P})$ je projektivní rovina.