TEACHING 25l += cvic2

jk_web/teaching_25_past1/__init__.py

@@ -92,6 +92,7 @@ with web.Module("teaching_25_past1") as module:
                     b.line.th("Příklady")
             with b.tbody:
                 b<<lesson(1, "20. 2.", "Elementární pravděpodobnost")
+                b<<lesson(2, "27. 2.", "Podmíněná pravděpodobnost")
 
 
         return base_page(b.root)

jk_web/teaching_25_past1/cvic2.tex

+\documentclass{article}
+\usepackage{cvika}
+\newcommand\calF{{\cal F}}
+
+\begin{document}
+
+\Nadpis{\bf 2. cvičení z PSt --- 27.2.2025 (Jiří Kalvoda)}
+
+\hbox to \hsize{\hskip -3cm plus 1 fil \emph{Veškeré materiály ke cvičení naleznete na \url{https://kam.mff.cuni.cz/~jirikalvoda/vyuka/25l/past1/}.\hskip -3cm plus 1 fil }}
+
+\pr Dokažte, že pro dva jevy $A$, $B$ platí $\P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B)$. 
+
+\nadpis{Podmíněná pravděpodobnost, Bayesova věta} 
+
+\pr 
+Házíme dvakrát mincí. Je větší pravděpodobnost, že dvakrát padne panna, za
+předpokladu, že první hod byla panna NEBO že dvakrát padne panna, za
+předpokladu, že \emph{některý} hod byla panna? 
+
+\pr
+Jaký je vztah tvrzení $\P(A|B) > P(A)$ a $\P(B|A) > P(B)$?
+
+\pr 
+V krabici sto mandarinek jsou čtyři zkažené. 
+Vytáhneme postupně tři mandarinky. 
+Označme $A_i$ jev \uv{$i$-tá mandarinka není zkažená}. 
+\cast  Spočtěte $P(A_1 \cap A_2)$. \textbf{Využijte podmíněnou pravděpodobnost.}
+\cast  Spočtěte $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$. Opět využijte podmíněnou pravděpodobnost. Pokud 
+  si nebudete vědět rady, koukněte na první užitečný vzorec z druhé strany. 
+
+\pr 
+Máme tři normální hrací kostky a jednu kostku, kde jsou tři jedničky a tři dvojky. 
+Vybereme uniformně náhodně jednu z kostek, hodíme. 
+
+\cast Jaká je pravděpodobnost, že padne jednička? 
+
+\cast Pokud nám padla jednička, jaká je pravděpodobnost, že jsme vybrali normální kostku? 
+
+
+\pr
+Petr dostává hodně emailů, ale 80 \% z nich jsou spamy. Jeho spamový filtr 90 \% spamů správně označí, 
+ale také 5 \% řádných emailů označí jako spam. 
+
+\cast Kolik procent emailů bude označeno jako spamy? 
+\cast Kolik procent řádných emailů je mezi těmi, co jsou označené jako spamy? 
+\cast Kolik procent spamů je mezi emaily, které testem prošly? 
+
+
+
+
+\pr
+(Paradox Monty Halla)
+V soutěžní hře soutěžící (tj.\ my) stojíme na podiu před třemi
+dveřmi. Za jedněmi je auto (to chceme), za ostatními koza (tu
+nechceme, moc žere). Vybereme si jedny dveře, ale než je otevřeme,
+tak moderátor otevře jedny ze zbylých dveří, ukáže za nimi kozu, a
+nabídne nám, že můžeme svoji volbu změnit. Máme to udělat? Pomůže
+to? Uvědomte si, že zadání má (minimálně) následující dvě varianty: 
+\begin{enumerate}
+  \item[(a)] moderátor ví, kde je auto, a tomu přizpůsobí, které
+    dveře otevře;
+  \item[(b)] moderátor si hodí korunou, které dveře otevřít. (Jiné, 
+    než ty, co jsme vybrali.) Kdyby odhalil auto, tak bychom asi nezaviněně prohráli, 
+    ale to se zrovna nestalo. 
+\end{enumerate}
+
+Pro snazší domluvu: vybereme dveře číslo~1, auto je za náhodnými dveřmi. 
+Poté, co moderátor otevře dveře~2 nebo~3, tak naši volbu změníme. 
+Spočítejte pravděpodobnost, že vyhrajeme auto, ve variantách~(a),~(b).
+
+\pr* %podm, hravé
+Alice má $n$ mincí, Bob $n+1$. Oba hodí všemi svými mincemi a spočítají, komu padne kolikrát panna. 
+Pravděpodobnost, že Bobovi padla vícekrát, je $1/2$. (Návod: Bob si dá jednu minci stranou a napřed spočítá 
+těch $n$ ostatních, teprve pak připočte tu poslední.) 
+
+\pr %podm, hravé
+Varianta problému s obálkami: 
+ve dvou obálkách je v každé částka daná nějakým reálným číslem, v každé jiným. 
+Máme dovoleno jednu obálku otevřít a pak se rozhodnout, zda si necháme tu, 
+nebo tu druhou. Jak můžeme s pravděpodobností $> 1/2$ získat obálku s vyšším obnosem? 
+
+[Návod: nebude to o moc víc než $1/2$, navíc ta pravděpodobnost závisí na tom, jak se 
+dané dvě částky liší. Použijte nějakou klesající funkci $F : \RR \to (0,1)$, pokud 
+vyberete obálku s částkou $x$, změňte obálku s pravděpodobností~$F(x)$.]
+
+\nadpis{Bonusy} 
+
+\pr (Simpsonův paradox)
+V této úloze budeme mít bonbony dvou druhů: dobré červené a nedobré zelené. 
+Bonbony ale vybíráme z nádoby poslepu (nebo jsme barvoslepí). 
+Rozhodněte, zda se může stát následující podivnost: 
+\begin{itemize}
+  \item Při vytahování bonbonu z bílé krabice máme vyšší pravděpodobnost, že vytáhneme dobrý bonbon, než z černé krabice. 
+  \item Při vytahování bonbonu z bílého sáčku máme vyšší pravděpodobnost, že vytáhneme dobrý bonbon, než z černého sáčku.
+  \item Pokud přesypeme bonbony z bílého sáčku do bílé krabice (a z černého do černé krabice), tak budeme mít lepší pravděpodobnost 
+    vytažení dobrého bonbonu v černé krabici.
+\end{itemize}
+
+\pr (Prosecutor's fallacy)
+Paní C umřely dvě děti krátce po narození. Je obžalovaná za dvojnásobnou vraždu. Žalobce argumentuje takto: 
+Pravděpodobnost syndromu náhlého úmrtí kojenců je $1/8500$. Takže pravděpodobnost dvou takových jevů je 
+$1/8500^2$. Tudíž pravděpodobnost, že paní C je nevinná je $1/8500^2$, což je hodně málo. 
+
+Formulujte argumenty žalobce v řeči pravděpodobnosti a nalezněte v nich dvě chyby. 
+
+
+
+
+\nadpis{K procvičení} 
+
+\pr %podm, total prob, rutina/trik
+Máme $k$ nádob, v každé z nich $a$ bílých a $b$ černých míčků. 
+Z první vybereme náhodný míček, vhodíme do druhé. Pak z ní vybereme náhodný míček, vhodíme do třetí, atd.
+Jaká je pravděpodobnost, že z poslední nádoby vytáhneme bílý míček? 
+
+\pr %podm, total prob, rutina/trik
+V urně je $a$ černých a $b$ bílých míčků. Postupně z ní (bez vracení) taháme míčky. 
+Jaká je pravděpodobnost, že první vytažený míček je černý? Druhý, třetí, \dots? 
+
+\pr 
+V krabici je $m$ bílých a $n$ černých míčků. 
+Dva hráči střídavě tahají míčky, první kdo vytáhne bílý míček prohrál. 
+Jaká je pravděpodobnost~$p(m,n)$, že prohraje první hráč? (Sestavte rekurentní formuli, 
+tj. formuli pro $p(m,n)$ pomocí $p(m',n')$ pro $m'\le m$, $n' \le n$.) 
+
+\pr
+Logická formule $A \implies B$ je ekvivalentní obměně $\neg B \implies \neg A$. 
+Budeme se zabývat analogiemi zahrnujícími pravděpodobnost. 
+
+\cast Ukažte, že pokud $\P(B | A) = 1$, tak také $\P(A^c | B^c) = 1$. 
+
+\cast Ukažte, že je však možné, aby $\P(B | A) \doteq 1$, ale $\P(A^c | B^c) \doteq 0$. 
+
+%TODO: původně jsem měl na konci 1 místo nuly, ale nedávalo mi to
+%smysl. Snad je to takhle OK :)
+
+\nadpis{Užitečné vzorce} 
+
+\begin{itemize}
+  \item 
+  Pokud $A_1, \dots, A_n \in \calF$ a $\P(A_1 \cap \dots \cap A_n) > 0$, tak 
+  $$
+    \P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = 
+  %  \P(\cap_{i=1}^n A_i) = 
+    \P(A_1)
+    \P(A_2 | A_1)
+    \P(A_3 | A_1 \cap A_2)
+    \ldots
+    \P(A_n | \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i)
+  $$
+\item
+  Pokud $B_1, B_2, \dots$ je rozklad $\Omega$ a $A \in \calF$, tak 
+  $$
+    \P(A) = \sum_i \P(A|B_i) \P(B_i) 
+  $$
+  (sčítance s $\P(B_i)=0$ považujeme za 0).
+\item 
+  Za předpokladů minulé části, 
+  $$
+    \P(B_j|A) = \frac{\P(B_j) \P(A|B_j)}{\sum_i \P(B_i) \P(A|B_i)} 
+  $$
+\end{itemize}
+
+
+
+\end{document}
+
+
+
+\nadpis{Hrátky s náhodnými veličinami} 
+
+
+\pr Prokop hází basketbalovým míčem na koš, v každém pokusu má pravděpodobnost zásahu $1/10$, pokusy jsou nezávislé. 
+Skončí po prvním zásahu. Označme $X$ celkový počet hodů. 
+
+\cast Jaká je $\P(X > k)$?
+\cast Jaká je distribuce $X$? Tj. určete pravděpodobnostní funkci
+$p_X$, tj. pro každé $x$ určete $\P(X=x)$. 
+\cast Jaká je $\P(X \ge 10 | X \ge 5)$?
+\cast Jaká je $\E(X)$? 
+
+
+\pr Pokračování z minulé úlohy: označme $Y = X \bmod 2$, 
+tj. $Y = 0$, pokud je $X$ sudé, jinak $Y=1$. Určete distribuci $Y$.
+
+
+\pr Quido také hází míčem na koš, má pravděpodobnost $p$, že se 
+trefí. Označme $Z$ počet zásahů z~$n$~pokusů. 
+Určete distribuci~$Z$.
+
+
+
+
+\nadpis{Nezávislé jevy}
+
+\pr %teorie, rutina
+Pokud jsou jevy $A$, $B$ nezávislé, tak jsou nezávislé i jevy $A$, $B^c$. 
+A také jevy $A^c$, $B^c$. 
+
+\pr Mohou být dva jevy nezávislé a zároveň disjunktní? 
+
+\pr Najděte jevy $A$, $B$, $C$ takové, že $\P(A\cap B \cap C) = \P(A) \P(B) \P(C)$, ale
+jevy nejsou po dvou nezávislé.
+
+%% prvočíselný unif. prostor? 
+
+\nadpis{Bayesova věta} 
+
+\pr
+Petr dostává hodně emailů, ale 80 \% z nich jsou spamy. Jeho spamový filtr 90 \% spamů správně označí, 
+ale také 5 \% řádných emailů označí jako spam. 
+
+\cast Kolik procent emailů bude označeno jako spamy? 
+\cast Kolik procent řádných emailů je mezi těmi, co jsou označené jako spamy? 
+\cast Kolik procent spamů je mezi emaily, které testem prošly? 
+
+
+\pr %
+Kouřovými signály přenášíme binární soubor. Je proto poměrně vysoká pravděpodobnost chyby u každého bitu: 
+0 se jako 0 přenese jen s pravděpodobností $0.9$, 1 jako 1 jen s pravděpodobností $0.8$. 
+Předpokládejme (trochu neseriózně), že jednotlivé znaky se přenáší nezávisle. 
+Dále předpokládejme, že ve vysílané zprávě je stejně nul a jedniček.
+
+\cast Pokud jsme dostali signál 0, jaká je pravděpodobnost, že byl opravdu vyslán? 
+\cast Dostali jsme zprávu 0010. Jaká je pravděpodobnost, že byla opravdu vyslána? 
+\cast Jak se výpočet změní, pokud budeme pro kontrolu vysílat každý symbol třikrát (a pak vezmeme častější z těch tří pokusů)?
+
+
+\pr 
+Pokud vidíme bílého pudla, zvyšuje to naši důvěru, že je každá vrána černá? 
+
+\nadpis{K procvičení} 
+
+\pr
+V truhle je sto mincí. Z nich 99 je normálních, ale jedna má na obou stranách orla. 
+Vytáhneme náhodnou minci a šestkrát s ní hodíme, pokaždé padne orel. Jaká je pravděpodobnost, že 
+jsme si vytáhli \uv{dvouorlovou} minci? (Zkuste napřed odhadnout, pak spočítat.) 
+
+\pr
+Na chorobu $C$ máme dva testy, $A$ a $B$. Test $A$ má sensitivitu i specificitu 
+$p = 0.95$. Test $B$ vždy řekne, že pacient je zdravý. Předpokládejte, že $\P(C) = 0.01$. 
+
+\cast 
+Spočtěte pro oba testy pravděpodobnost úspěchu (tj. správné odpovědi), použijeme-li je na 
+náhodného pacienta. Rozmyslete si, co to říká o užitečnosti obou testů. 
+
+\cast 
+Pro jaké $p$ je pravděpodobnost úspěchu obou testů stejná? 
+
+\pr %Bayes a trik navíc
+Ve volbách hlasují lidé pro dva kandidáty, $A$ a $B$. Při odchodu z volební místnosti 
+jsou voliči náhodně požádáni o účast v exit-poll. Předpokládejme, že kdo odpoví, odpoví 
+popravdě koho volil, ale ne všichni se zúčastní. Označíme-li $E$ množinu voličů, kteří se 
+exit-pollu zúčastní, tak předpokládejme $\P(E|A) = 0.7$ a $\P(E|A^c)=0.4$. 
+Výsledky exit-pollu jsou 60 \% pro~$A$. Jaký je skutečný podíl lidí, kteří hlasovali pro~$A$?
+
+%% Nejlepší řešení (asi):
+% P(A|E) = P(A) P(E|A)/c
+% P(B|E) = P(B) P(E|B)/c
+% vydělením se zbavíme c, dostaneme P(A)/P(B) = 6/7, snadno dopočteme. 
+%
+% Nebo rovnou bez Bayese:
+% P(E)P(A|E) = P(A)P(E|A)
+% P(E)P(B|E) = P(B)P(E|B)
+% a zase 
+
+\pr 
+Máme tři normální hrací kostky a jednu kostku, kde jsou tři jedničky a tři dvojky. 
+Vybereme uniformně náhodně jednu z kostek, hodíme a padne jednička. Jaká je pravděpodobnost, že 
+jsme vybrali normální kostku? 
+
+\pr %podm, total, rutina
+Pro plánování výletu do Krkonoš používáme českou a polskou předpověď počasí. 
+Předpokládejme, že každá z nich má tutéž pravděpodobnost úspěchu $p \in [0,1]$, 
+obě předpovědi jsou nezávislé. Používáme je takto: pokud se shodují, věříme jim, pokud ne, 
+rozhodneme se náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se rozhodneme správně?
+
+
+