Skip to content
Snippets Groups Projects
Commit 981c13a3 authored by Jiří Kalvoda's avatar Jiří Kalvoda
Browse files

KG1: 9. a 10. cv + test

parent 398915b8
No related branches found
No related tags found
No related merge requests found
---
title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 10"
lang: "cs"
---
[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
\def\sectioneject{}
[]{c=head}
Vrcholová souvislost grafů
==========================
::: {c=from_lesson}
Vrcholová souvislost, značená $k_v (G)$, je největší $k$ takové, že graf $G$ je vrcholově $k$-souvislý.
Pro neúplný graf $G$ je $k_v(G)$ rovno
velikosti nejmenšího vrcholového řezu a pro $K_n$ máme $k_v (K_n) = n - 1$.
Mengerova věta: graf je vrcholově $k$-souvislý, právě když mezi každými dvěma různými vrcholy existuje $k$ vnitřně vrcholově disjunktních cest.
:::
a) Existuje graf $G$, pro nějž je $k_v(G) < k_e(G)$?
b) A co $k_v(G) > k_e(G)$?
c) Může být rozdíl $|k_v (G) - k_e (G)|$ libovolně velký?
d) Nechť $G$ je graf, jehož každý vrchol má stupeň nejvýš 3. Plyne z toho, že $k_e (G) = k_v(G)$?
Ušaté lemma
===========
::: {c=from_lesson}
Připomeňme, že graf G je (vrcholově) 2-souvislý, právě když ho lze vyrobit z kružnice pomocí operací přidávání
ucha.
:::
a) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy
$x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ obsahující $z$.
b) Nechť $G$ je graf s aspoň třemi vrcholy. Dokažte, že $G$ je 2-souvislý, právě když pro každé tři různé vrcholy
$x, y, z$ existuje v $G$ cesta z $x$ do $y$ neobsahující $z$.
c) Dokažte, že v každém 2-souvislém grafu lze zorientovat hrany (tj. nahradit každou hranu orientovanou
hranou) tak, že pro každé dva vrcholy $x, y$ bude existovat orientovaná cesta z $x$ do $y$.
---
title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 9"
lang: "cs"
---
[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
\def\sectioneject{}
[]{c=head}
::: {c=from_lesson}
Párování v grafu $G$ je podmnožina hran taková, že žádně dvě nesdílí společný vrchol.
:::
Hallova věta
============
::: {c=from_lesson}
Připomeňme grafovou verzi Hallovy věty: V bipartitním grafu $G$ s partitami $A$ a $B$ existuje párování velikosti $|A|$,
právě když pro každou množinu $X \subseteq A$ platí $|N (X)| \geq |X|$.
:::
Také můžete předpokládat, že platí aktuálně zadaný domácí úkol:
> Do mateřské školky přišel Mikuláš s velkým pytlem hraček. Každé dítě ukázalo na deset hraček, které se mu líbí. Ukázalo se, že každá hračka se líbí nejvýše pěti dětem. Ukažte, že je možné každému dítěti dát jako dárek dvě hračky, které se mu líbí.
a) Nechť $G = (V, E)$ je graf. Předpokládejme, že pro každý podgraf $H$ grafu $G$ platí $|E(H)| \le |V(H)|$
Ukažte, že je možné hrany $G$ nahradit orientovanými hranami tak, že do každého vrcholu bude vstupovat
nejvýš jedna hrana.
b) Nechť $G = (V, E)$ je graf. Předpokládejme, že pro každý podgraf $H$ grafu $G$ platí $|E(H)| \le 10|V(H)|$.
Ukažte, že je možné hrany $G$ nahradit orientovanými hranami tak, že do každého vrcholu bude vstupovat
nejvýš deset hran.
c) Mějme dvě přirozená čísla $k \leq n$. Pojmem latinský obdélník tvaru $k \times n$ označujeme matici s $k$ řádky
a $n$ sloupci vyplněnou čísly $1,\dots, n$ tak, že v každém řádku se každé číslo vyskytuje právě jednou a v
každém sloupci se každé číslo vyskytuje nejvýš jednou. Dokažte, že pokud $k < n$, tak ke každému latinskému
obdélníku tvaru $k \times n$ lze přidat $n - k$ řádků tak, aby vznikl latinský obdélník tvaru $n \times n$, neboli latinský
čtverec.
\vfil\eject
Hranová souvislost grafů
========================
::: {c=from_lesson}
Připomeňme, že hranová souvislost grafu $G$, značená $k_e(G)$, je největší číslo $k$ takové, že $G$ je hranově $k$-souvislý,
nebo ekvivalentně, $k_e(G)$ je velikost nejmenšího hranového řezu v grafu $G$.
Mengerova věta: graf je hranově $k$-souvislý, právě když mezi každými dvěma různými vrcholy existuje $k$ hranově disjunktních
cest.
:::
a) Čemu je rovno $k_e(K_n)$ – tj. úplný graf? Čemu je rovno $k_e(K_{m,n})$ – tj. úplný bipartitní graf?
b) Nechť $G$ je graf, jehož každý vrchol má stupeň právě $d$. Co lze říci o hodnotě $k_e(G)$?
c) Nechť $G = (V, E)$ je graf, jehož hranová souvislost je rovna $k$. Předpokládejme, že vytvoříme nový graf $G^+$
tak, že ke grafu $G$ přidáme nový vrchol z a spojíme ho hranami s nějakými $k$ různými vrcholy $y_1 , \dots , y_k$
grafu $G$. Co lze říci o hranové souvislosti grafu $G^+$?
d) Nechť $G$ je hranově $k$-souvislý graf. Zvolme v něm $k + 1$ různých vrcholů $u, v_1 , v_2 , \dots , v_k$. Dokažte, že $G$
obsahuje $k$ hranově disjunktních cest $P_1 , \dots , P_k$ , kde cesta $P_i$ spojuje vrchol $u$ s vrcholem $v_i$.
Vrcholová souvislost grafů
==========================
::: {c=from_lesson}
Vrcholová souvislost, značená $k_v (G)$, je největší $k$ takové, že graf $G$ je vrcholově $k$-souvislý.
Pro neúplný graf $G$ je $k_v(G)$ rovno
velikosti nejmenšího vrcholového řezu a pro $K_n$ máme $k_v (K_n) = n - 1$.
Mengerova věta: graf je vrcholově $k$-souvislý, právě když mezi každými dvěma různými vrcholy existuje $k$ vnitřně vrcholově disjunktních cest.
:::
a) Existuje graf $G$, pro nějž je $k_v(G) < k_e(G)$?
b) A co $k_v(G) > k_e(G)$?
c) Může být rozdíl $|k_v (G) - k_e (G)|$ libovolně velký?
d) Nechť $G$ je graf, jehož každý vrchol má stupeň nejvýš 3. Plyne z toho, že $k_e (G) = k_v(G)$?
e) Nechť $G$ je vrcholově $k$-souvislý graf. Zvolme v něm $k + 1$ různých vrcholů $u, v_1 , v_2 , \dots , v_k$. Rozhodněte, jestli $G$
musí obsahovat $k$ vrcholově disjunktních cest $P_1, \dots , P_k$ , kde cesta $P_i$ spojuje vrchol $u$ s vrcholem $v_i$.
......@@ -53,6 +53,11 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module:
b.locallink(p)("Příklady")
return b.root
test = web.Mpage(d, f"vyuka/24z/kg1/test", source=f'test.md',
page_builder=base_page,
source_code_module=(lambda: ...).__module__,
)
with b.table:
with b.table():
with b.thead():
......@@ -75,6 +80,11 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module:
pdf=False)
b<<lesson(7, "12. 11.", b._bucket("Projektivní roviny a toky v sítích.", b._br(), "Na začátku cvičení byla předvedena konstrukce projektivních rovina a pak jsme se primárně věnovali tokům a jejich aplikacím."))
b<<lesson(8, "19. 11.", b._bucket("Toky podruhé, řezy a Hallova věta."))
b<<lesson(9, "26. 11.", b._bucket("Hallova věta a souvislost grafů."))
b<<lesson(10, "3. 12.", b._bucket("Vrcholová souvisloust a ušaté lemma + ", b._locallink(test).b("Test")))
b<<lesson(11, "10. 12.", b._bucket(), pdf=False)
b<<lesson(12, "17. 12.", b._bucket(), pdf=False)
b<<lesson(13, "7. 1.", b._bucket(), pdf=False)
return base_page(b.root)
......
---
title: "KG1 Jiří Kalvoda: Zápočtový test"
lang: "cs"
---
[#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
\def\sectioneject{}
`\centerline{{\settextsize{20}KG1 Jiří Kalvoda: Zápočtový test}}`{=tex}
`\vskip -20pt`{=tex}
Tahák {-}
=========
::: {c=from_lesson}
- $n^{n/2} \le n! \le n^n$ $\hskip 1.8cm$ $e\left(\frac{n}{e}\right)^n \le n! \le en \left(\frac{n}{e}\right)^n$
- $\left({n\over k}\right)^k \le {n \choose k} \le \left({en \over k}\right)^k$
- $\frac{2^{2m}}{2m+1} \le {2m \choose m} \le 2^{2m}$
$\hskip 1cm$
$\frac{2^{2m}}{2 \sqrt{m}} \le {2m \choose m} \le \frac{2^{2m}}{\sqrt{2m}}$
Vytvořující funkce pro posloupnost $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ je mocninná řada $a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$.
Je obecně známo, že $1 \over 1-x$ je vytvořující funkce pro $1,1,1\dots$.
Základní úpravy:
`\vskip -20pt`{=tex}
:::
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)+g(x)$ | $a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots , a_n + b_n, \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$cf(x)$ | $ca_0 , ca_1 , ca_2 , \dots , ca_n , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$xf(x)$ | $0, a_0 , a_1 , a_2 , \dots , a_{n-1} , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)-a_0 \over x$ | $a_1 , a_2 , \dots , a_{n+1} , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x^2)$ | $a_0, 0, a_1 ,0, a_2 ,0, a_3, 0, \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(cx)$ | $a_0, ca_1, c^2a_2, c^3 a_3, \dots , c^na_{n} , \dots$ |
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
|$f(x)g(x)$ |$a_0b_0 , a_0b_1 + a_1b_0 , a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0, \dots, \sum_{0\le i \le n} a_ib_{n-i}, \dots$|
+--------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------+
`\vskip -15pt`{=tex}
::: {c=from_lesson}
$n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů mající právě levého a pravého potomka) s právě $n$ vnitřními vrcholy.
Na přednášce bylo ukázáno, že tato čísla splňují rekurenci $C_n = \sum_{0\leq i < n} C_i C_{n-1-i}$
a pomocí vytvořujících funkcí bylo ukázáno, že $C_n = {1\over n+1}{2n \choose n}$.
:::
Vytvořující funkce
==================
Najděte explicitní vzorec pro $n$-tý člen posloupností určené následující vytvořující funkcí:
`\vskip -25pt`{=tex}
$$f(x) = {7 \over x+4}-{4 \over 2x-3}$$
Vzorečky nad rámec taháku v zadání této písemky odůvodněte.
Závorky
================
Spočítejte (explicitní vzorec) počet validních uzávorkování obsahujících $m$ párů kulatých a $n$ párů hranatých závorek.
Např. pro $m=2$ a $n=1$ máme následujících 15 možností:
`([()])`,
`([])()`,
`(())[]`,
`()[()]`,
`[()()]`,
`(([]))`,
`()[]()`,
`()()[]`,
`(()[])`,
`[()]()`,
`()([])`,
`([]())`,
`[]()()`,
`[(())]`,
`[](())`.
Porovnání
======
Čeho je více (pro dostatečně velké $n$): Všech permutací $2n$ prvků nebo všech funkcí $[2n]$ do $[n]$?
Výsledek odůvodněte.
0% Loading or .
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Please register or to comment