KG1: Další kus cvičení

jk_web/teaching_24_kg1/5.md

@@ -5,17 +5,16 @@ lang: "cs"
 
 [#jk_web.teaching_24_kg1.cvic_formatitko]{type=module}
 
-\def\sectioneject{\vfil\eject}
+\def\sectioneject{}
 
 []{c=head}
 
-_Příští týden se cvičení nekoná, je děkanský sportovní den_
+_Příští týden se cvičení nekoná, je děkanský sportovní den._
 
 Catalanova čísla
 ================
 
-_$n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů s $n$ vnitřními vrcholy.
-a že tato
+_Z přednášky: $n$-té catalanovo číslo $C_n$ je definováno jako počet binárních stromů (tj. zakořeněných stromů složených buď z listů, nebo z vnitřních vrcholů mající právě levého a pravého potomka) s právě $n$ vnitřními vrcholy.
 Na přednášce bylo ukázáno, že tato čísla splňují rekurenci $C_n = \sum_{0\leq i < n} C_i C_{n-1-i}$
 a pomocí vytvořujících funkcí bylo ukázáno, že $C_n = {1\over n+1}{2n \choose n}$._
 
@@ -29,51 +28,79 @@ a) Zakořeněných stromů s $n$ hranami, kde každý vrchol může mít libovol
 b) Procházky v mřížce $\N \times \N$ z bodu $(0, 0)$ do bodu $(n, n)$ takové, že v každém kroku se posuneme buď o jednu jednotku
    nahoru nebo o jednu jednotku doprava, a zároveň nesmíme nikdy sestoupit pod přímku danou rovnicí $x = y$. (Příklad
    pro $n = 3$ je v pravé části obrázku.)
+
+```{c=cmt}
 c) Korektní uzávorkování pomocí $n$ párů závorek. “Korektním uzávorkováním” zde rozumíme posloupnost obsahující $n$
    levých a $n$ pravých závorek, jejíž každý prefix obsahuje aspoň tolik levých závorek jako pravých. Zde je všech pět
    korektních uzávorkování pomocí tří párů závorek: `((()))`, `(()())`, `(())()`, `()(())`, `()()()`.
+```
 
 Každou z předešlých úloh můžete ukázat:
-1) buď rekurzivního vzorečku,
+
+1) buď pomocí rekurzivního vzorečku,
 2) nebo pomocí bijekce na jiné objekty, jejichž počet už znáte.
 
 
-Alternativní odvození vzorečku pro Catalanova čísla
+Alternativní odvození vzorečku pro $C_n$
 --------------------------------------
 
 Vyřešme část b\) předchozího příkladu kombinatorickou úvahou.
 V tomto příkladu slovem _procházka_ označme libovolnou
-cestu v $\N × \N$ , která začíná v bodě $(0, 0)$ a v každém kroku se posune o jedna doprava nebo o jedna nahoru. Řekneme, že
+cestu v $\N \times \N$ , která začíná v bodě $(0, 0)$ a v každém kroku se posune o jedna doprava nebo o jedna nahoru. Řekneme, že
 procházka je dobrá, pokud nikdy nesestoupí pod přímku $x = y$, jinak je špatná.
+
 a) Kolik existuje všech procházek (dobrých i špatných) končících v bodě $(m, n) \in \N \times \N$?
 b) Dokažte pomocí vhodné bijekce, že počet všech procházek končících v bodě $(n + 1, n - 1)$ je stejný, jako počet špatných
    procházek končících v bodě $(n, n)$.
 c) Odvoďte z toho, že počet dobrých procházek končících v bodě $(n, n)$ je ${1\over n+1}{2n \choose n}$.
 
 
-
+\vfil\eject
 Projektivní roviny
 ==================
 
 
-_Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf (X, P) splňující trojici axiomů:_
-1) _Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in P$, která je oba obsahuje._
-2) _Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in P$ platí $|p \cap q| = 1$._
+_Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf $(X, {\cal P})$ splňující trojici axiomů:_
+1) _Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in {\cal P}$, která je oba obsahuje._
+2) _Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in {\cal P}$ platí $|p \cap q| = 1$._
 3) _Existuje čtyřprvková množina vrcholů $Č$, jejíž žádné tři vrcholy neleží ve společné hyperhraně._
 
 Alternativní axiomatizace
 -------------------------
 
+Ukažte, že axiom 3 lze nahradit axiomem: Existují dvě různé přímky $p, q$
+z $\cal P$, z nichž každá obsahuje alespoň tři různé body.
+
+
 Konstrukce
 ----------
 
+Nechť $p$ je prvočíslo a $[p] = \{0,1,\dots p\}$. Uvažme množinu trojic $[p]^3$.
+Na této množině zavedeme ekvivalenci $(x_1, y_1, z_1) \sim (x_2, y_2, z_2)$ právě tehdy když existuje $\alpha$ takové, že:
+$$
+x_1 \equiv x_1 \qquad
+y_1 \equiv y_1 \qquad
+z_1 \equiv z_1 \qquad
+({\rm mod}\ p).$$
+Množinu všech tříd ekvivalence $\sim$ ozmačíme $X$.
+
+Definujeme ${\cal P} = \{\{(x,y,z) \mid (x,y,z)\in [p]^3,  ax+by+cz = 0\} \mid (a,b,c)\in [p]^3\}$.
+
+a) Ověřte, že $\sim$ je skutečně relace ekivalence.
+b) Ověřte, že $(X, {\cal P})$ je projektivní rovina.
+   Nejprve nahlédněte, že vnitřní množina v definici ${\cal P}$ se skládá vždy z celých tříd ekivalence $\sim$.
+   Dále si rozyslete, že pro různá $a,b,c$ ze stejne třídy ekvivalence $\sim$ dosteneme stejnou množinu bodů (tedy pro jednu třídu ekvivalence máme jen jednu přímku).
+   Nakonec ověřte axiomy projektivní roviny.
+
+
+
 Nekonečné projektivní roviny
 ----------------------------
 
-a) Nechť X je množina všech (euklidovských) přímek v $\R^3$ procházejících počátkem.
+a) Nechť $X$ je množina všech (euklidovských) přímek v $\R^3$ procházejících počátkem.
    Pro takovou přímku $x \in X$ definujme
-   množinu přímek $P\perp x = {y \in X; y je kolmá na x}$ a označme $P = {P \perp x ; x \in X}$ systém všech takovýchto množin.
-   Dokažte, že $(X, P)$ je projektivní rovina.
+   množinu přímek $P_{\perp x} = {y \in X; y \perp x}$ a označme ${\cal P} = \{P_{\perp x} \mid x \in X\}$ systém všech takovýchto množin.
+   Dokažte, že $(X, {\cal P})$ je projektivní rovina.
 b) Nahlédněte, že tato konstrukce je ekvivalentní s následují konstrukcí:
    Vezmeme rovinu $\R^2$ s jejími body a přímkami.
    K nim doplníme pro každou množinu rovnoběžných přímek **jeden** bod "v nekonečnu", kde se protínají. A pak všemi body v nekonečnu protáhneme ještě jednu přímku.