Zanesení korektur

prace/bakalarka/index.md

@@ -61,9 +61,9 @@ Auta budeme indexovat od $0$ do $2n-1$ a typy od $0$ do $n-1$.
 Pomocí $a_{i,0}$ budeme značit pozici prvního auta typu $i$ a pomocí $a_{i,1}$ pozici druhého.
 
 Opačně $t_i$ bude značit typ auta na pozici $i$
-a $p_i$ bude značit, jestli se jedná o první nebo druhé auto daneho typu (tedy bude nabívat hodnoty $0$ nebo $1$).
+a $p_i$ bude značit, jestli se jedná o první nebo druhé auto daneho typu (tedy bude nabývat hodnoty $0$ nebo $1$).
 
-Protože někdy bude výhodnější zacházet se znaménky, zavedeme ještě $P_i = -1+2 p_i$, které bude nabívat hodnot $-1$ a $1$.
+Protože někdy bude výhodnější zacházet se znaménky, zavedeme ještě $P_i = -1+2 p_i$, které bude nabývat hodnot $-1$ a $1$.
 Také rozšíříme notaci o $a_{i, -1} = a_{i,0}$.
 
 Nakonec ještě zavedeme zkratku indexu druhého auta stejného typu jako na pozici $i$: $o_i = a_{t_i,-P_i}$.
@@ -339,15 +339,15 @@ Pro nás bude důležitá zejména třetí podmínka,
 protože navíc platí, že ze semidefinitní matice $X$ zvládneme zkonstruovat $Y$
 pomocí Choleského dekompozice a to v čase $\O(n^3)$.
 
-Ještě poznamenejme, že pro libovolnou čtvercovou matici $Y$ je $Y^{\rm T} Y$ symetrická.
+Ještě poznamenejme, že pro libovolnou matici $Y$ je $Y^{\rm T} Y$ symetrická.
 Tedy semidefinitní programování můžeme chápat jako optimalizační úlohu na $Y\in \R^{n\times n}$.
 Pojďme se zamyslet nad tím, co v takovémto pohledu znamenají podmínky a účelová funkce.
-Matici $Y$ můžeme považivat za $n$ sloupcových vektorů $\vec{y_0}, \dots, \vec{y_{n-1}}$ vedle sebe.
+Matici $Y$ můžeme považivat za $n$ sloupcových vektorů $\vec{y_0}, \dots, \vec{y_{n-1}}$ vedle sebe. (TODO sazba větší šipky nad vektorem)
 Matice $Y^{\rm T}$ pak odpovídá těmto vektorům zapsaných v řádcích pod sebou.
 Matice $X = Y^{\rm T} Y$ tedy na pozici $i,j$ obsahuje skalární součin vektorů $y_i$ a $y_j$.
 Účelová funkce tedy je lineární kombinací skalárních součinů a podmínky
 odpovídají vynucení rovnosti lineární kombinace skalárních součinů vektorů a konstanty.
-Speciálně tedy můžeme mít podmínku na délku vektoru: $|\vec{y_i}| = \vec{y_i}^{\rm T}\vec{y_i} = C$.
+Speciálně tedy můžeme mít podmínku na délku vektoru: $|\vec{y_i}| = \sqrt{\vec{y_i}^{\rm T}\vec{y_i}} = C$.
 Semidefinitní programování v tomto tvaru bude nazývat semidefinitní programování _v dekompomovaném tvaru_.
 
 Maximální řez
@@ -391,7 +391,7 @@ Součet hran v řezu je součtem indikátorů jevů přítomnosti jednotlivých
 Z linearity součtu středních hodnot tedy střední hodnota součtu hran v řezu je $1/2$ celkového součtu hran, což je alespoň $1/2$ optima.
 :::
 
-Povšimněme si, že triviální algoritmus dosáhnu poměrně zajímavého aproximačního poměru
+Povšimněme si, že triviální algoritmus dosáhl poměrně zajímavého aproximačního poměru
 a to se ani nedíval na vstup.
 
 
@@ -524,7 +524,7 @@ Vrcholům jedné množiny přidělíme vektory $(1,0,\dots,0)$ a druhé $(-1,0,\
 
 Bohužel na rozdíl od lineárního programování, u semidefinitního programování nejsme schopní v polynomiálním čase najít optimální řešení.
 Naštěstí však platí, že v polynomiálním čase jsme schopní se mu libovolně přiblížit.
-Přesněji řečeno, pro každé $\varepsilon > 0$ jsme schopní najít řešení s účelovou funkcí.
+Přesněji řečeno, pro každé $\varepsilon > 0$ jsme schopní najít řešení s účelovou funkcí nejdále $\varepsilon$ od optima.
 
 TODO toto víc popsat u řešení semidefinitních programů