From dfc409bcd7653a7d613ec8154d7d38915c087f09 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Martin Mares <mj@ucw.cz>
Date: Wed, 9 Apr 2025 15:37:59 +0200
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Teorie=20=C4=8D=C3=ADsel:=20V=C3=BDpo=C4=8Det?=
=?UTF-8?q?=20=CF=86(n)?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
---
07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex | 31 ++++++++++++++++++++++++++++++-
1 file changed, 30 insertions(+), 1 deletion(-)
diff --git a/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex b/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
index bcd3365..d7d991f 100644
--- a/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
+++ b/07-teorie-cisel/teorie-cisel.tex
@@ -356,7 +356,7 @@ Tím jsme dokázali speciální případ takzvané Čínské věty o~zbytcích.\
se jí říká proto, že byla známa už ve starověké Číně. Zkracuje se jako CRT --
Chinese Remainder Theorem.} Ukážeme si její dvě verze:
-\theoremn{Čínská zbytková neboli CRT}{
+\theoremn{Čínská o~zbytcích neboli CRT}{
Nechť $N_1,\ldots,N_k$ jsou navzájem nesoudělná kladná čísla,
$N=N_1\cdot\ldots\cdot N_k$ a $a_i\in\Z_{N_i}$ pro $i=1,\ldots,k$.
Pak existuje právě jedno $x\in\Z_N$ takové, že $x\bmod N_i = a_i$ pro všechna~$i$.
@@ -378,6 +378,35 @@ jako indukční krok.
\subsection{Eulerova funkce}
+Už jsme zavedli funkci~$\varphi(n)$, která udává, kolik prvků ze~$Z_n$ je nesoudělných s~$n$,
+tedy invertibilních. Nyní se podívejme, jak tuto funkci počítat.
+
+\lemma{Pro Eulerovu funkci~$\varphi$ platí:
+ \list{n.}
+ \:$\varphi(p) = p-1$
+ \:$\varphi(p^k) = (p-1)p^{k-1}$
+ \:$\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$, kdykoliv $m\perp n$.
+ \endlist
+}
+
+\proof
+\list{n.}
+\:S~prvočíslem~$p$ jsou nesoudělná všechna čísla od 1 do~$p-1$.
+
+\:S~mocninou~$p^k$ jsou soudělná čísla dělitelná~$p$, a~těch je jedna $p$-tina všech.
+Zbývá tedy $(1-(1/p))p^k$ nesoudělných, což je rovno uvedenému výrazu.
+
+\:Využijme bijekci $x \mapsto (a\bmod m, a\bmod n)$ z~CRT. Číslo $x$ je nesoudělné s~$mn$
+právě tehdy, když je nesoudělné s~$m$ a současně s~$n$. To je totéž jako že $a$ je nesoudělné s~$m$
+a~současně $b$ nesoudělné s~$n$. Tomu odpovídá $\varphi(m)\cdot\varphi(n)$ dvojic zbytků,
+a~tím pádem stejný počet čísel~$x$.
+\qeditem
+\endlist
+
+Z~tohoto lemmatu plyne, že kdykoliv umíme číslo~$n$ faktorizovat (rozložit na součin
+mocnin různých prvočísel), umíme efektivně spočitat $\varphi(n)$. Žádný efektivní způsob,
+který nepotřebuje faktorizaci, není znám.
+
\section{Faktorizace versus prvočíselnost}
\section{Diskrétní logaritmy}
--
GitLab