diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/7.md b/jk_web/teaching_24_kg1/7.md index 0f5d3b7ab628f7847db918010695e3bde8cf05e5..36c302420582c15caa9a7081b0bac600a2b00d45 100644 --- a/jk_web/teaching_24_kg1/7.md +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/7.md @@ -1,5 +1,5 @@ --- -title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 5" +title: "KG1 Jiří Kalvoda: Cvičení 7" lang: "cs" --- @@ -18,7 +18,6 @@ Připomeňme, že projektivní rovina byla definovaná jako hypergraf $(X, {\cal 1) Pro každé dva různé vrcholy $x, y \in X$ existuje právě jedna hyperhrana $p \in {\cal P}$, která je oba obsahuje. 2) Pro každé dvě různé hyperhrany $p, q \in {\cal P}$ platí $|p \cap q| = 1$. 3) Existuje čtyřprvková množina vrcholů $C$, jejíž žádné tři vrcholy neleží ve společné hyperhraně. - ::: Konstrukce @@ -45,7 +44,7 @@ b) Ověřte, že $(X, {\cal P})$ je projektivní rovina. Aplikace -------- -Ukažte, že existuje graf s $n$ vrcholy s alespoň $\Omega(n^{3/2})$ hranami, který neobsahuje cyklus na čtyřech vrcholech. +Ukažte, že existuje graf s nejvýše $n$ vrcholy s alespoň $\Omega(n^{3/2})$ hranami, který neobsahuje cyklus na čtyřech vrcholech. \vfill\eject @@ -58,12 +57,12 @@ $z$ je zdroj, $s$ je stok a $c:E\rightarrow \R_0^+$ je funkce kapacit hran. Tok v této síti je $f:E\rightarrow \R_0^+$ tž: -1) $\forall e\in E: f(e) < c(e)$ +1) $\forall e\in E: f(e) \le c(e)$ 2) $\forall x\in V-\{z,s\}: f[{\rm In}(x)] = f[{\rm Out}(x)]$. Velikost toku je $f[{\rm Out}(z)] - f[{\rm In}(z)] = f[{\rm In}(s)] - f[{\rm Out}(s)]$. -Řez $R$ v takovéto síti je podmnožina $R\subset E$ tž v grafu $(V, E-R)$ neexistuje orientovaná cesta ze $z$ do $s$. +Řez $R$ v takovéto síti je podmnožina $R\subseteq E$ tž. v grafu $(V, E-R)$ neexistuje orientovaná cesta ze $z$ do $s$. Zlepšující cesta pro tok $f$ je taková cesta ze $z$ do $s$ složená z dopředných i zpětných hran taková, že pro každou dopřednou $e$ na ní platí $f(e) < c(e)$ a zpětnou $e'$ platí $f(e')>0$. @@ -90,11 +89,11 @@ Ukažte, jak lze následující úlohy efektivně, tj. v polynomiálním čase, a) Máme dánu tokovou síť $(V, E, z, s, c)$, cílem je najít její minimální $zs$-řez. -b) Máme dánu tokovou síť, kde ovšem místo jednoho spotřebiče s je několik spotřebičů $s_1 , s_2 , \dots , s_k$ a jeden +b) Máme dánu tokovou síť, kde ovšem místo jednoho spotřebiče $s$ je několik spotřebičů $s_1 , s_2 , \dots , s_k$ a jeden zdroj $z$. Rozdíl oproti běžné síti je jen v tom, že pro žádný z vrcholů $z, s_1 , s_2 , \dots , s_k$ nepožadujeme, aby se v nich zachovával tok. Cílem je najít maximální tok v této síti. (Velikost toku definujeme obvyklým způsobem, tedy jako rozdíl mezi tím, co vytéká ze zdroje, a tím, co do zdroje přitéká.) c) Máme dánu tokovou síť $(V, E, z, s, c)$ a hranu $e \in E$, cílem je najít tok $f$ (ne nutně maximální) takový, že $f(e)$ je co největší. -d) Máme dánu matici $M4 , jejíž prvky jsou nuly a jedničky. Cílem je najít v $M$ co největší množinu jedniček - takových, že žádné dvě nejsou ve stejném řádku ani ve stejném sloup +d) Máme dánu matici $M$, jejíž prvky jsou nuly a jedničky. Cílem je najít v $M$ co největší množinu jedniček + takových, že žádné dvě nejsou ve stejném řádku ani ve stejném sloupci. diff --git a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py index a44e3d3041671e160cf3396b51a6f6dd5fd5155a..081621c1bc85fce7e84e401ad6d4765b30fc03ec 100644 --- a/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py +++ b/jk_web/teaching_24_kg1/__init__.py @@ -73,7 +73,7 @@ with web.Module("teaching_24_kg1") as module: b._a(href="https://maso.mff.cuni.cz/")("MaSo"), ", vyberte si)."), pdf=False) - b<<lesson(7, "12. 11.", b._bucket("Projektivní roviny a toky v sítích.")) + b<<lesson(7, "12. 11.", b._bucket("Projektivní roviny a toky v sítích.", b._br(), "Na začátku cvičení byla předvedena konstrukce projektivních rovina a pak jsme se primárně věnovali tokům a jejich aplikacím.")) return base_page(b.root)