diff --git a/prace/bakalarka/index.md b/prace/bakalarka/index.md index 79503cfaf308d8f2408bda3583f9fa34da9c2b9b..b41189a35f90cf792d11c9d7ca5938092a136b60 100755 --- a/prace/bakalarka/index.md +++ b/prace/bakalarka/index.md @@ -587,10 +587,10 @@ Jednotkový vektor můžeme generovat tak, že vygenerujeme náhodný vektor nez Povšimne si, že normalizace ani není potřeba, protože to na znaménku součinů nic nemění. -Nyní pojďme precizněji spočítat pravděpodobnost toho, že se dvojice bodů (vektorů) $\vec{u}$, -$\vec{v}$ rozdělí náhodnou nadrovinou $\rho$ v závislosti na hodnotě skalárního +Nyní pojďme precizněji spočítat pravděpodobnost toho, že se dvojice bodů (vektorů) $\vec{y_u}$, +$\vec{y_v}$ rozdělí náhodnou nadrovinou $\rho$ v závislosti na hodnotě skalárního součinu mezi nimi. -Můžeme se podívat na rovinu, ve které leží počátek a oba vektory $\vec{u}$, $\vec{v}$ (viz obrázek [](#gw-cut)). +Můžeme se podívat na rovinu, ve které leží počátek a oba vektory $\vec{y_u}$, $\vec{y_v}$ (viz obrázek [](#gw-cut)). Průnik náhodné nadroviny s touto rovinou tvoří rovnoměrně náhodně vybranou přímku procházející počátkem. ::: {#gw-cut c=figure} @@ -602,25 +602,25 @@ label("$\rho$", (-2,-1), N); pair u = rotate(70)*(1,0); pair v = rotate(-15)*(1,0); draw((0,0)--u,Arrow); -label("$\vec{u}$", u, N); +label("$\vecoverrightarrow{y_u}$", u, N); draw((0,0)--v,Arrow); -label("$\vec{v}$", v, E); +label("$\vecoverrightarrow{y_v}$", v, E); draw(scale(0.2)*rotate(-15)*subpath(unitcircle, 0, 85/90)); label("$\alpha$", (0.2, 0), 0.7*ENE); ``` -Znázornění řezu rovinou obsahující $\vec{u}$ i $\vec{v}$. +Znázornění řezu rovinou obsahující $\vec{y_u}$ i $\vec{y_v}$. ::: Zajímá nás tedy, jaká je pravděpodobnost toho, že jedno z ramen nadroviny bude uvnitř konvexního úhlu -mezi $\vec{u}$ a $\vec{v}$. +mezi $\vec{y_u}$ a $\vec{y_v}$. Velikost tohoto úhlu označme $\alpha$. -Víme, že $\vec{u}^{\rm\, T}\vec{v} = 1 \cdot 1 \cdot \cos a$. +Víme, že $\vec{y_u}^{\rm\, T}\vec{y_v} = 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha$. Náhodnou přímku můžeme vygenerovat jako náhodný úhel $\beta$ mezi $0$ a $2\pi$ s tím, že přímka pak povede směrem $\beta$ a $(\beta + \pi) \mod 2\pi$. Nikdy však uvnitř konvexního úhlu nebudou obě ramena přímky, tedy pravděpodobnost, že alespoň jedno bude uvnitř a tedy body budou oddělené je: -$$ \frac{2 \cdot \alpha}{2\pi} = \frac{\alpha}{\pi} = \frac{\arccos \vec{u}^{\rm\,T}\vec{v}}{\pi}$$ +$$ \frac{2 \cdot \alpha}{2\pi} = \frac{\alpha}{\pi} = \frac{\arccos \vec{y_u}^{\rm\,T}\vec{y_v}}{\pi}$$ U každé hrany $uv$ optimalizujeme $-h(u,v) \vec{y_u}^{\rm T}\vec{y_v}$, což je ekvivalentní optimalizování $h(u,v)\cdot\left(\frac{1}{2} - \frac{\vec{y_u}^{\rm T}\vec{y_v}}{2}\right)$. @@ -641,10 +641,10 @@ add(legend(linelength=15pt),point(E),10E); Graf funkcí pravděpodobnosti řezu a účelové funkce. ::: -Nyní se podívejme na poměr mezi pravděpodobností toho, že hrana bude v řezu, a účelovou funkcí před vynásobením hodnotou hrany jakožto funkci proměnné $x = \vec{u}^{\rm\,T} \vec{v}$ v intervalu $\left[ -1, 1 \right]$: +Nyní se podívejme na poměr mezi pravděpodobností toho, že hrana bude v řezu, a účelovou funkcí před vynásobením hodnotou hrany jakožto funkci proměnné $x = \vec{y_u}^{\rm\,T} \vec{y_v}$ v intervalu $\left[ -1, 1 \right]$: $$ -\frac{\arccos \vec{u}^{\rm\,T} \vec{v}}{\pi} / \frac{1 - \vec{y_u}^{\rm T}\vec{y_v}}{2} +\frac{\arccos \vec{y_u}^{\rm\,T} \vec{y_v}}{\pi} / \frac{1 - \vec{y_u}^{\rm T}\vec{y_v}}{2} = \frac{\arccos x}{\pi} / \frac{1 - x}{2} $$