diff --git a/prace/bakalarka/index.md b/prace/bakalarka/index.md
index d8d647ae44b522186984097f097d83f7dd1b82a1..ebb7c6f17d3850bb766ac26caf6ad734d664c2be 100755
--- a/prace/bakalarka/index.md
+++ b/prace/bakalarka/index.md
@@ -20,7 +20,6 @@ ft:
         V této práci je představen nový algoritmus založený na semidefinitním programování,
         který dle provedených měření pro náhodné vstupy dosahuje výsledků okolo 0.34-násobku počtu typů aut.
         O algoritmu jsme dokázali, že pro každý vstup vrátí ve střední hodnotě řešení nejhůře o 0.212 násobek počtu typů aut horší než optimum.
-        Bohužel se nám nepodařilo dokázat žádný netriviální horní odhad na střední hodnotu počtu změn na náhodném vstupu.
     keywords: [binární paint shop problém, aproximační algoritmus]
     year: 2024
     study_programme: Informatika
@@ -41,15 +40,19 @@ ft:
             In this thesis is introduced new algorithm based on semidefinite programming
             which considered to madden test on random inputs reach solutions near to 0.34 times number of car types.
             We proved that for each input this algorithm returns a solution with expected deviation from optimum of at most 0.212 times the number of car types.
-            We can't prove any nontrivial upper bound on the expected number of color changes on random input.
 ---
 ``` {c=cmt}
-Algoritmus na Maximální řez: rozčlenit na věty a podobné
-Pozicování stránek: nadpisy na konci, float do dalších sekcí
-Opravit tvrzení o skoropotimáľníĺ řešení SDP
+Abstract: Co je vstup/výstup + typy nejsou u sebe
+Obrázek koule
 Klikaci věci + generování obsahu formátítkem
 Více řezů
 složitost je n^c pro jaké c?
+Absolutní číslování ve struktuře
+Popisky obrázků
+Popisky os
+Obsah bez změn velikostí
+barevné schéma grafu
+font grafů
 ```
 
 ::: {only=html}
@@ -123,7 +126,7 @@ Cíle práce
 
 Naším cílem bude najít co nejlepší algoritmus řešící BPS
 a odhadnout u něj střední hodnotu skóre pro náhodný vstup.
-
+Dále se pokusíme porovnat již známé algoritmy.
 
 Struktura práce
 ---------------
@@ -165,7 +168,7 @@ Nakonec označme $\delta_{\alg} = \lim_{n\to\infty} \delta_{\alg}(n) = \lim_{n\t
 Protože limita nemusí vždy existovat, zavedeme ještě limes superior a limes inferior:
 $\delta^+_{\alg} = \limsup_{n\to\infty} \delta_{\alg}(n)$ a
 $\delta^-_{\alg} = \liminf_{n\to\infty} \delta_{\alg}(n)$.
-Význam těchto definicí bude vysvětlen v následující kapitole.
+Význam těchto definic bude vysvětlen v následující kapitole.
 
 Dále označme $\gamma(\alpha)$ optimální skóre na vstupu $\alpha$.
 A následně analogicky definujeme $\gamma(n), \delta(\alpha), \delta(n)$, $\delta$, $\delta^+$ a $\delta^-$
@@ -183,7 +186,7 @@ Problém je _optimalizační_, pokud pro každý vstup $I$, existuje množina
 přípustných řešení $F(I)$.
 Dále existuje účelová funkce $f$, která pro každý vstup a jeho přípustné řešení určuje reálné nezáporné číslo -- jeho hodnotu.
 
-Pokud se jedná o minimalizační problém, tak pod pojmem _optimum_ daného vstupu (značíme $\opt(I)$) myslíme infimum hodnot účelové funkce přes všechny přípustné řešení, tedy $\inf f[F(i)]$.
+Pokud se jedná o minimalizační problém, tak pod pojmem _optimum_ daného vstupu (značíme $\opt(I)$) myslíme infimum hodnot účelové funkce přes všechna přípustná řešení, tedy $\inf f[F(i)]$.
 Pro maximalizační problém analogicky použijeme supremum.
 :::
 
@@ -194,7 +197,7 @@ Algoritmus $\alg$ je $g(n)$-aproximační na minimalizačním problému,
 pokud pro každý vstup $I$ algoritmus vrátí přípustné řešení $\alg(I)$, pro které platí, že $f(\alg(I)) \le g(|I|) \cdot \opt(I)$.
 :::
 
-Předešlá definice záleží na tom, co považujeme za velikost vstupu, což se pro různé problémy a jejich interpretace může lišit.
+Předešlá definice záleží na tom, co považujeme za velikost vstupu, což se pro různé problémy a jejich interpretace liší.
 Naštěstí nás většinou budou zajímat $c$-aproximace, tedy
 aproximace, kde $g(n)$ je konstantní funkce rovna $c$.
 
@@ -223,10 +226,12 @@ Pokud řešíme složitost algoritmů a úloh,
 většinou vyžadujeme, aby účelová funkce i rozhodování přípustnosti řešení byly vyčíslitelné v polynomiálním čase.
 Navíc chceme, aby všechna přípustná řešení měla omezenou délku nějakým polynomem v délce vstupu.
 Snadno nahlédneme, že za takovýchto podmínek je rozhodovací verze,
-jestli je optimum alespoň zadané číslo, v $NP$.
+jestli je optimum alespoň zadané číslo, v $\NP$.
 Pro takovou úlohu většinou hledáme polynomiální aproximační algoritmus.
 Binární paint shop vyhovuje všem těchto podmínkám.
 
+Pokud existuje $(1-\varepsilon)$-aproximační algoritmus pro každé $\varepsilon > 0$, říkáme, že máme aproximační schéma.
+
 Doposud známé výsledky
 ======================
 
@@ -333,7 +338,7 @@ aby byl počet změn co možná nejmenší možný.
 :::
 
 Autoři algoritmu, Andres and Hochstättler [@gr], o něm dokázali, že
-${2\over 5}\ n - {8\over 15} \le \gamma_{\algo{rg}}(n)  \le {2\over 5}\ n + {7\over 10}$,
+${2\over 5}\,n - {8\over 15} \le \gamma_{\algo{rg}}(n)  \le {2\over 5}\,n + {7\over 10}$,
 tedy $\delta_{\algo{rg}} = 2/5 = 0.4$.
 
 Dále se o zlepšení tohoto algoritmu pokusili Hančl a kol. [@docw].
@@ -394,14 +399,14 @@ fig.add_vline(x=200*hypoth,
 Graf skóre $100$ běhů hvězdičkového rekurzivního řešení pro $n=200$.
 :::
 
-Autoři algoritmu o něm vyslovili domněnku, že $\delta_{\algo{rsg}} = {1\over 13} \cdot \sqrt{61} - {3\over 13} \sim 0.370$ .
+Autoři algoritmu o něm vyslovili domněnku, že $\delta_{\algo{rsg}} = {1\over 13} \cdot \sqrt{61} - {3\over 13} \doteq 0.370$.
 Na obrázku [](#rsg) je zobrazen histogram skóre tohoto algoritmu spuštěného na náhodných vstupech a hodnota z předešlé hypotézy.
 
 
 Zobecněné verze a související problémy
 --------------------------------------
 
-Zobecněním binárního paint shopu je obecný paint shop problém, zavedený Epingem a spol. [@ps],
+Zobecněním binárního paint shopu je obecný paint shop problém, zavedený Eppingem a spol. [@ps],
 Z něj pochází motivace k binární verzi.
 
 ::: {c=box t=task name="Obecný paint shop problém"}
@@ -821,6 +826,7 @@ Měření SDP řešení
 Součástí práce je implementace algoritmů řešících Binární paint shop problém.
 Každý z nich byl následně spuštěn pro různé velikosti, pokaždé na 100 nezávisle náhodně vybraných vstupech.
 Celý test běžel jedno vláknově zhruba dva dny a využíval nejvýše 16 GB operační paměti.
+U $\algo{sdp}$ řešení bylo použito 10 náhodných řezů a vždy byl vybraný nejlepší z nich.
 Na následujících stranách jsou zpracovaná různá naměřená data.
 
 Praktické řešení semidef. programů
@@ -907,6 +913,7 @@ Vzhledem k výše uvedeným problémům dává smysl se porozhlédnout po altern
 
 SageMath  je dle oficiálních stránek [@sagemath] open-source software pro matematické výpočty založený na rozšířené syntaxi pythonu,
 takže je poměrně snadné ho využívat i jako programovací jazyk.
+Pro účely práce byla použita verze sage 10.1 ze dne 2023-08-20.
 Sage mimo jiné obsahuje rozhraní pro řešení semidefinitních programů.
 Rozhraní je navrženo tak, aby bylo schopné pracovat s více různými backendy pro řešení semidefinitních programů.
 Bohužel z dokumentace [@sage-semidef-doc] nebylo zřejmé, jaké backendy sage podporuje.
@@ -1152,7 +1159,7 @@ Z naměřených dat jsme jednak odhadli střední hodnotu skóre algoritmu přes
 A druhak jsme si všimli, že dimenze řešení semidefinitního programování je poměrně malá, což jsme zformulovali jako hypotézu.
 
 Stále však zůstává otevřená otázka, kolik přesně je $\delta^+$ a $\delta^-$ (a případně zda se rovnají)
-a jaké nejlepší $\delta^+_{\alg}$ jsme schopní dosáhnout polynomiálním algoritmem $\alg$.
+a jaké nejlepší $\delta^+_{\alg}$ je možno dosáhnout polynomiálním algoritmem $\alg$.
 
 Seznam zkratek {-}
 ==================